數(shù)學(xué)建模回歸分析（共19頁word文檔）簡單明了

方差分析是試驗統(tǒng)計學(xué)的一個重要思想。其基本思想是通過考察均值的變異來分析變量間的依賴程度。需要說明的是，方差分析關(guān)注的是均值的變異，而非方差的變異情況。
回歸分析方法，特別是線性回歸分析方法可能是最受歡迎的統(tǒng)計工具之一。在研究中有多種回歸形式，如線性、非線性、單變量、多變量、參數(shù)或是非參數(shù)回歸等等。
方差分析與回歸分析的相似之處就是，這兩種分析方法都可被用于分析變量對其他變量的依賴性。二者的區(qū)別就在于，分析的角度是不同的。
9.1方差分析
方差分析是20世紀(jì)20年代發(fā)展起來的一種統(tǒng)計方法，目前已被廣泛應(yīng)用于心理學(xué)、醫(yī)學(xué)以及人文科學(xué)等學(xué)科研究中。本節(jié)將介紹單因素方差分析與雙因素方差分析的基本原理及其在實際問題中的應(yīng)用。

9.1.1基本概念及相關(guān)假設(shè)

（一）基本概念

定義1 檢驗多個總體均值是否有顯著差異的統(tǒng)計方法，稱為方差分析（Analysis of variance，常被簡記為ANOVA）。
從形式上，方差分析是通過比較多個總體的均值是否有顯著差異，來說明某分類變量對因變量的影響情況，例如，是否產(chǎn)生了影響，影響強度如何等等。為了更好地說明問題，這里以一個實際問題來進行說明。

例1 為提高大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)效果，研究人員提出了三種不同的教學(xué)方案，現(xiàn)欲證明這三種不同的教學(xué)方案對教學(xué)效果的改進是否有顯著差異。這里使用的方法是，從同一年級的學(xué)生中，隨機抽取接受不同教學(xué)方法的學(xué)生若干名，通過比較學(xué)期期末考試成績，來考察三種教學(xué)方法效果的差異。具體的成績數(shù)據(jù)如表9-1：
（詳見附件）
一般而言，學(xué)生的成績越高，說明相應(yīng)的教學(xué)方法的效果越好。我們希望了解這三種教學(xué)方法的效果是否有顯著差異？
要分析這三種教學(xué)方法的效果是否有顯著差異，實際上也就是要判斷“教學(xué)方法”對“學(xué)生成績”是否有顯著影響，做出這種判斷最終被歸結(jié)為檢驗接受這三種教學(xué)方法的學(xué)生的平均成績是否有較大差異。如果他們的平均成績沒有較大差異，就意味著“教學(xué)方法”對學(xué)生成績是沒有影響的，也就是這三種教學(xué)方法的效果沒有顯著差異；如果平均成績有較大差異，則意味著“教學(xué)方法”對學(xué)生成績是有影響的，這三種教學(xué)方法的效果應(yīng)該有顯著差異。

為了便于表述，可以引入以下定義：
定義2 在方差分析中，被檢驗的對象稱為因素或是因子（Factor）。
定義3 因素所處的不同狀態(tài)稱為水平(Level)。
定義4 因素在每個水平下對應(yīng)的調(diào)查結(jié)果可以稱為一個“組”（Group）。

在例1中，“教學(xué)方法”是被檢驗的對象，我們把它稱為“因素”或是“因子”；方法1、方法2與方法3是“教學(xué)方法”這一因素的具體表現(xiàn)，可以稱之為“水平”；每一種教學(xué)方法對應(yīng)的學(xué)生成績是一組觀測值。由于這里只涉及“教學(xué)方法”這一個因素，因此對此問題的分析也可以稱為單因素3水平的分析。因素的每一個水平可以看作為一個總體，例如方法1、方法2、方法3可以對應(yīng)三個總體，相應(yīng)的觀測值可以看作是從這三個總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)。
（二）基本假設(shè)
方差分析中有三個基本假設(shè)：
（1）每個總體均服從正態(tài)分布；
（2）各總體的方差均相同；
（3）所有的觀測值是獨立的。
在上述假設(shè)成立的前提下，要分析自變量對因變量是否有影響，實際上也就是要檢驗自變量的各個水平（總體）的均值是否相等。例如，在例1中，判斷教學(xué)方法對學(xué)生成績是否有顯著影響，實際上就是檢驗具有相等方差的三個正態(tài)總體的均值（平均成績）是否相等。
盡管總體的均值是未知的，但是，正如前面所學(xué)習(xí)到的，我們可以用樣本均值代替總體均值進行檢驗分析。如果這三個總體的均值是相等的，那么可以預(yù)期對應(yīng)的三個樣本均值也會很接近。事實上，三個樣本均值越接近，推斷這三個總體均值相等的證據(jù)也就越充分；反之，推斷總體均值不相等的證據(jù)越充分。換句話說，這是一個假設(shè)檢驗過程。


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2017-10-6 18:48 上傳

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