在實(shí)際的通訊信道中，信號(hào)的傳輸會(huì)受到噪聲的干擾，從而在接收端不可避免地會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。要使信號(hào)能可靠的傳輸，即要降低信號(hào)傳輸中的誤碼率。人們采用了一系列相關(guān)技術(shù)來(lái)改善噪聲信道的接收性能，使接收信息的誤碼率盡可能降低。這些技術(shù)中，信道的糾錯(cuò)編碼及其譯碼方法處于非常重要的地位。自從1948年香農(nóng)發(fā)表了關(guān)于信道容量理論極限的重要論文之后，短短幾十年時(shí)間里，人們?cè)谛诺谰幋a研究領(lǐng)域相繼取得了眾多理論成果和突破。

信道編碼按照對(duì)信息元的處理方式不同，可分為線性分組碼和卷積碼，線性分組碼可以完全用代數(shù)方法來(lái)嚴(yán)格地表達(dá)，它的出現(xiàn)較早而且其譯碼方法也較為簡(jiǎn)單，因此容易被人們所認(rèn)識(shí)，現(xiàn)在有關(guān)線性分組碼的理論已經(jīng)相當(dāng)成熟。卷積碼雖然也早已出現(xiàn)，但由于其編碼結(jié)構(gòu)不能較好的用代數(shù)方法表示，因此給卷積碼的理論研究帶來(lái)了一定的困難。但是，單獨(dú)的線性分組碼或卷積碼在性能上離香農(nóng)理論極限還相差較遠(yuǎn)。為了進(jìn)一步提高編碼的糾錯(cuò)性能，人們采用了不同的措施，其中將兩個(gè)編碼進(jìn)行串行級(jí)聯(lián)是一種有效的方法。級(jí)聯(lián)碼一般采用Rs碼作為外碼，卷積碼作為內(nèi)碼，因此可以同時(shí)糾正隨機(jī)和突發(fā)的混合錯(cuò)誤。但是這種形式的級(jí)聯(lián)碼，對(duì)改善單個(gè)碼元的誤碼率仍沒(méi)有太大幫助。如何對(duì)現(xiàn)有的編碼方法進(jìn)行改進(jìn)，從而更加逼近香農(nóng)理論極限，已經(jīng)成為國(guó)際通信學(xué)界的重大課題。

RS碼具有很強(qiáng)的抗突發(fā)誤碼的能力，因此被廣泛應(yīng)用于各種通信領(lǐng)域。正因?yàn)镽S編碼的應(yīng)用范圍非常廣泛，對(duì)于RS編／解碼技術(shù)的研究一直是國(guó)內(nèi)外通信系統(tǒng)研究的一個(gè)熱點(diǎn)，特別是RS編／解碼的硬件設(shè)計(jì)更是其中之重點(diǎn)和難點(diǎn)。

RS編碼是一種線性的塊編碼[8]，其表示形式為RS(n，k)。當(dāng)編碼器接收到一個(gè)數(shù)據(jù)信息序列，該數(shù)據(jù)信息序列被分割成若干長(zhǎng)度為k的信息塊，并通過(guò)運(yùn)算將每個(gè)數(shù)據(jù)信息塊編碼成長(zhǎng)度為k的編碼數(shù)據(jù)塊。在RS碼中的碼元符號(hào)不是二進(jìn)制而是多進(jìn)制符號(hào)，其中2m進(jìn)制使用更為廣泛。RS碼是建立在GF(2m)上(m>=3，m是任意整數(shù))有限域上，且RS碼是MDS碼，具有極大最小距離特性，它具有卓越的糾錯(cuò)能力，無(wú)論是糾突發(fā)錯(cuò)誤還是糾隨機(jī)錯(cuò)誤的能力，以及它的快速譯碼速度，均是其它碼類無(wú)法比擬的。用MS多項(xiàng)式產(chǎn)生的是非系統(tǒng)碼，而用BCH構(gòu)造方法能產(chǎn)生系統(tǒng)碼。我們用的是后一種。

RS碼的定義：GF(q)上的(q≠2，q=2m)，碼長(zhǎng)n=q-1的本原BCH碼成為RS碼[2]。可知RS碼最主要的特點(diǎn)之一是碼元取自GF(2m)上，而它的生成多項(xiàng)式也在GF(q)上，所以RS碼是碼元的符號(hào)域與根域一致的BCH碼。

因?yàn)? ，（其中 ）的最小多項(xiàng)式 。所以，碼長(zhǎng)為N=q-l，校驗(yàn)位n-k=2t，設(shè)計(jì)距離為 的RS碼，最小距離dmin=n-k+1。由BCH碼的定義可知，它的生成多項(xiàng)式為

從RS碼的n、k值立即可斷定其糾錯(cuò)能力為

t=int[(dmin-1)/2]=int[(n-k)/2]

由此生成一個(gè)q進(jìn)制的[q-1，q-]RS碼，有最小距離。由于線性碼的最大可能的最小距離是校驗(yàn)元的個(gè)數(shù)加l，而RS碼恰好做到了這一點(diǎn)。因此，稱RS碼為極大最小距離可分碼，簡(jiǎn)稱MDS碼。顯然RS碼的設(shè)計(jì)距離與實(shí)際距離D是一致的。如果我們要設(shè)計(jì)一個(gè)=9的RS碼，顯然RS碼的冗余位為-1=8=2t它的生成多項(xiàng)式為：

將信息段看成信息碼多項(xiàng)式m(x)，即

用信息碼多項(xiàng)式m(x)除以生成多項(xiàng)式g(x)，所得余式r(x)為監(jiān)督碼多項(xiàng)式，即

將監(jiān)督碼多項(xiàng)式r(x)置于信息碼多項(xiàng)式之后，形成RS碼。

RS解碼可分為時(shí)域解碼和頻域解碼。時(shí)域解碼直接根據(jù)接收到的數(shù)據(jù)確定錯(cuò)誤位置，不需要轉(zhuǎn)換計(jì)算，相對(duì)較容易實(shí)現(xiàn)。反之，頻域解碼首先要確定錯(cuò)誤位置的傅氏變換，然后通過(guò)傅氏反變換找到錯(cuò)誤位置，因此一般采用時(shí)域解碼[9]。

本文RS碼譯碼算法采用Berlekamp算法[10-11]，該算法是從計(jì)算接收碼字得到的伴隨式入手，以下我們用c(x)表示碼字，e(x)表示有 個(gè)錯(cuò)誤得錯(cuò)誤圖樣，r(x)表示接受字，r(x)=c(x)+e(x)， 其中xi是第i個(gè)差錯(cuò)得錯(cuò)誤位置，定義 ，yi是它的錯(cuò)誤值。

（1）根據(jù)接收到的碼多項(xiàng)式計(jì)算伴隨式S

而計(jì)算伴隨式之值{Sp}(p=1,2,…，2t-1,2t),就是將碼得規(guī)定根代入多項(xiàng)式r(x) ，則得，

若S=0，認(rèn)為接收無(wú)誤。若 ，則由S找出錯(cuò)誤圖樣。

因?yàn)? ，而 （p=1,2,…，2t）

即

從本質(zhì)上說(shuō)，譯碼器就是求解伽邏華域GF（2m）上得這組伴隨式非線性聯(lián)立方程，由伴隨式S找出錯(cuò)誤圖樣時(shí)，先確定錯(cuò)誤位置。

由于RS碼是由伽邏華域GF（2m）上某個(gè)元素的2t個(gè)連續(xù)冪次為根的生成多項(xiàng)式所定義的，用這些根取估算一個(gè)碼字多項(xiàng)式時(shí)，可寫(xiě)出xi再求錯(cuò)誤值yi。一般避免直接求解錯(cuò)誤位置xi，而代之以間接法。

（2）從伴隨式S到差錯(cuò)位置多項(xiàng)式 的迭代算法

錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式為：

顯然，差錯(cuò)位置多項(xiàng)式的v個(gè)根式差錯(cuò)位置數(shù)的倒數(shù) 。各次項(xiàng)的系數(shù) 和 一樣是未知數(shù)。將②式展開(kāi)可得：

再將③式代入①式可得牛頓恒等式：

令第μ次迭代后所得 是 次多項(xiàng)式為

這時(shí)， 表示第μ次迭代后所得得i次項(xiàng)系數(shù)。得系數(shù)一定滿足式③得前μ個(gè)牛頓恒等式，但不一定滿足第μ+1個(gè)牛頓恒等式。為了求 ，先求第μ次迭代的差值 如下：

差值實(shí)際上就是將第μ次迭代的結(jié)果代入最后一個(gè)牛頓恒等式所得的結(jié)果。

如果=0，說(shuō)明的系數(shù)也滿足第μ+1個(gè)牛頓恒等式，校驗(yàn)通過(guò)。這時(shí)可令 ，如果 ，說(shuō)明的系數(shù)不滿足第μ+1個(gè)牛頓恒等式，差距是，這時(shí)要求做修正并求修正后的。修正后的取法是：

I．從本次的迭代回退，尋找前面某一次，比如第ρ次迭代（ρ<μ）的差錯(cuò)多項(xiàng)式 ，要求該次（即第ρ次）迭代差值且 最大。 是第ρ次迭代時(shí)多項(xiàng)式 最高項(xiàng)的次數(shù)，即

II．取修正項(xiàng)為 ，即令：

式中， ， ，的最高次為：

（3）利用錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式求出差錯(cuò)位置數(shù)

將得到的錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式的系數(shù)代入式①，可算得

（4）利用伴隨式和 的系數(shù)求出差錯(cuò)幅值

由式④和式⑤，可得：

比較它們得同次項(xiàng)系數(shù)，再代入①式，即可得：

根據(jù)⑥式即可求得差錯(cuò)幅值。

本文采用RS（7，3）碼進(jìn)行仿真，各模塊組合及其仿真流程圖如圖1所示：

圖1

其中，RS編碼與解碼已經(jīng)在基礎(chǔ)理論中做了介紹，下面著重對(duì)其他組合模塊的功能和產(chǎn)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹。

用MATLAB自帶函數(shù)rand產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，乘以M（所要產(chǎn)生的進(jìn)制數(shù)），再經(jīng)過(guò)向下取整即可。

由于多進(jìn)制信源產(chǎn)生的是一連串的多進(jìn)制符號(hào)，為了進(jìn)行編碼，需將這些符號(hào)進(jìn)行分組，本次設(shè)計(jì)采用MATLAB自帶函數(shù)reshape, 將信息串（本次設(shè)計(jì)采用12000）變換成一個(gè)矩陣，該矩陣的行數(shù)為幀數(shù)（本次設(shè)計(jì)取值為4000），列數(shù)為信息位數(shù)（本次設(shè)計(jì)取值為3）

圖2

（1）8PSK調(diào)制器

I.首先將RS編碼器的輸出，映射到數(shù)域。然后把每個(gè)八進(jìn)制符號(hào)都映射成三個(gè)二進(jìn)制符號(hào)，映射規(guī)則如表2所示：

表2

II.再將每三個(gè)二進(jìn)制符號(hào)按圖三進(jìn)行映射。

（2）高斯隨機(jī)數(shù)發(fā)生器

同時(shí)產(chǎn)生高斯隨機(jī)數(shù)的同相分量和正交分量。

（3）為了驗(yàn)證RS碼在突發(fā)差錯(cuò)情況下仍然保持良好性能，故在PSK傳輸系統(tǒng)中引入突發(fā)差錯(cuò)，與未加突發(fā)差錯(cuò)的情況形成對(duì)比。

（4）判決器

計(jì)算接受信號(hào)在發(fā)送向量的投影，判斷哪個(gè)投影最大，就判哪個(gè)向量輸出。

圖3

由于從RS譯碼器輸出的消息是分組的，應(yīng)將這些消息進(jìn)行合并，以便與信源產(chǎn)生的消息進(jìn)行比較，計(jì)算誤碼率。

只要將上述輸出與信源比較，計(jì)算有多少不同的符號(hào)，然后再除于信源產(chǎn)生的符號(hào)數(shù)，即得誤碼率。

根據(jù)以上仿真過(guò)程，采用信源產(chǎn)生N= （為節(jié)約程序運(yùn)行時(shí)間，故N取值較小）個(gè)符號(hào)，固定信號(hào)功率S=1，得出以下圖表。

經(jīng)RS編碼后，信道采用pskmoto.m文件，信息流通過(guò)未加隨機(jī)差錯(cuò)的曲線如下圖所示：

圖4

經(jīng)RS編碼后，信道采用pskmoto2.m文件，信息流通過(guò)加上隨機(jī)差錯(cuò)的曲線如下圖所示：

圖5

對(duì)比兩圖可見(jiàn)，未加突發(fā)差錯(cuò)和加上突發(fā)差錯(cuò)的信噪比與誤碼率曲線圖相差不多，故得出結(jié)論，RS編碼對(duì)突發(fā)差錯(cuò)具有良好的抵抗能力。

通過(guò)本次課程設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)讓我了解了RS編碼的歷史、原理和編碼的步驟還有它的實(shí)際應(yīng)用和不足之處、也使我對(duì)RS編碼有了重新的認(rèn)識(shí)。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，我也認(rèn)識(shí)了自己還有很多不足，需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)的地方，在接下來(lái)的學(xué)習(xí)中我會(huì)花更多時(shí)間，我要不斷的努力，多聯(lián)系，多思考，來(lái)認(rèn)真加深知識(shí)理解與運(yùn)用，我相信我能有所進(jìn)步的。

  

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