有趣的雪花曲線

ID:127437 · 發表于 2016-6-20 22:27

雪花曲線，也叫科赫雪花（Koch Curve），科赫在1906年提出。或許是因為長得像雪花而得名的。

這個美麗復雜的曲線卻是用極為簡單的畫法畫成的：

先作出一個等邊三角形，然后把三角形的每一邊都分成三等分，然后再在每一邊上的三等分點上作出新的等邊三角形，不斷重復這個過程，所得的圖形就會越來越像雪花，就像這樣：

雪花曲線不僅美麗，也有許多神奇的性質，比如，它的周長會是多少呢？
我們看到，每次作圖，周長都增加了1/3，也就是每次作圖，周長都變成了上一次的4/3，那么，第n次的情況就是(4/3)^n，我們讓n趨向于無窮，那么周長也就會變成無窮大：

也就是說，雪花曲線的周長是無限長的。。

那么，面積呢？面積每一次都增加了，如果增加無窮次，面積是否也會變成無窮大？
對于正三角形，如果邊長為a，面積就是
___
√3 2

----- a
4

我們看到，每一次作圖（第n次），都增加了3^n個三角形，而每個三角形的邊長都是上一次的1/3，那么邊長就是(1/3)^n ，那么每個新三角形的面積就是：
　 ___
　√3
---------
　　　2n
　4×3

那么可得，第n次作圖面積就增加了：
　 ___　　n
　√3　×3
------------
　　　　2n
　　4×3

化簡可得：
　 ___
　√3
------------
　　　n
　4×3

那么到第n次，總面積就是：

（Σ是求和的意思）
我們可以作出面積關于n的折線圖：

我們發現，隨著n的增加，面積S增加的愈來愈慢，這說明隨著n的增加，面積S很可能收斂于一個定值，而不是發散到無窮去。

我們用與之前相同的辦法求，現在如果讓n趨向于無窮，上式就會變成一個無窮級數：

如果我們把√(3)/4提出來，就會變成√(3)/4 Σ1/3^k ，
而Σ1/3^k 我們很熟悉，這是一個幾何級數，它收斂到1/(1-1/3)=3/2
因此這個級數就會收斂到：
   __    __
3 √3    3√3
---×---- = ------
2    4    8

(3√3)/8
即：

那么，我們推出了，雪花曲線的面積就是(3√3)/8 ，這個數字大約等于 0.64951905283832898507279237806470213760355197017889273552092761729447

你可能會很驚奇，因為周長每一次都在增加，最后變成無窮長；每一次作圖面積也在增加，但卻收斂于一個定值，而不是無窮大。這意味著神奇的雪花曲線是用著一段無限長的周長圍出了一片有限多的面積，是不是很有趣？

更有趣的是，雪花曲線還有許多其他神奇的性質，比如說，它是一個分型圖形，它本身也具有遞歸的特性，而且在這條曲線上的任何一點都無法做出切線，（即處處不可導）這會導致你無法確定這個圖形接下來往哪畫。還有比這更奇怪的，這條“曲線”事實上不由任何一些“直線”或是“曲線”構成，因為每一條直線又都由一堆的“三角形”構成，但這些三角形的邊卻又由三角形構成。無論你怎么放大，你也無法看見任何一段直線，或是曲線……這一點跟魏爾斯特拉斯函數有異曲同工之妙。。（這是一個處處連續但處處不可導的函數，即任何一點無法做出切線）

附：魏爾斯特拉斯函數圖像：

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