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Δy
slope = -----
Δx 其中Δ表示某個變量的增量。比如說，
當x增加一小段，比如增加了2，此時y
也必然增加了一小段，比如1之類的，
那么增加的這一段的平均斜率就是：
Δy 1
slope = ----- = ---
Δx 2
這跟平均速度的計算 v=s/t 很像，
（事實上完全相同）
（注：對于一次函數 y = ax + b ,a就是它的斜率。 【注中注：這很明顯，因為如果x增加一段，比如增加了Δx， 那么Δy = a(x+Δx)+b-ax-b =ax+aΔx 斜率slope = Δy/Δx = a】 斜率的取值與b無關，因為之前說過，
速度的取值與起點無關。）
哦，這簡直像是在做代數運算，找不到微積分的影子。如果你前面的準備工作做好了，那么繼續請往下看，下面我將引入微分學最核心也是最有趣的部分。。
現在的問題是，我有一個函數（或者我的路程與時間的關系）是y=x，有沒有辦法可以
求出我在x=1這一點的運動速度呢？（即能否做出x=1這點的切線。）
“這一點的切線？天方夜譚！”你可能會發出這樣的感嘆。事實上一開始，數學家們碰到這樣的問題時也頭疼不已。但是他們找到了一種補救方法，就是：讓x=1增加Δx，求出這一段的平均斜率，用平均斜率來近似的代替這一點的斜率。增加之后的就是1+Δx，則
y的增加量為：
2
Δy = (1+Δx) - 1
所以這一段（1, 1+Δx）的平均斜率就是：
2 2
Δy (1+Δx) - 1 2Δx + (Δx)
slope= ---- = ----------- = ------------
Δx Δx Δx
= 2 + Δx
我們知道，如果Δx越小，則得到的斜率越接近于這一點的真實斜率，而在上式中，我們發現如果讓Δx趨向于0，Δx就會消失！所以最終的結果很漂亮，這一點的斜率是2！
那么，對于任一點x ，函數y=x^2的斜率能求出嗎？ 當然能！這種情況不過是上面的情況的推廣：
2 2 2
Δy (x+Δx) - x 2Δx + (Δx)
slope= ---- = ------------- = ---------------
Δx Δx Δx
= 2x + Δx
令Δx→0 （意思是讓Δx趨向于0），上式 = 2x 。即對于任意一點x，函數y=x^2的斜率是2x 。
那么一開始的問題我們就解決了：
（問題：）
（解答：）
【解釋：函數y=x^2在x點的切線的斜率是2x。
（如果你的路程函數是x^2，你的速度函數就是2x。像這樣，知道路程函數，求得速度函數的過程就叫求導，這個“速度”函數就叫這個“路程”函數的導數 。
dy
函數y的導數記作 y' 或 ---- （讀作“d y d x”,不讀分數線。）。
dx
(即y=x^2，則y'=2x)
】
不管你信不信，你已經初步理解了微分學中的導數的概念！是不是很簡單？
【注：本文介紹的求導的過程實際上是不嚴謹的，因為導數的嚴格的定義是由極限給出的，而本篇沒有介紹極限，也沒有給出“連續”
的含義 】
下面寫出幾個常見的函數的導數，這些公式、求導法則可以直接用，沒必要每次都去推導一次。
常函數 的導數：
y = C y' = 0 (C為常數)
冪函數 的導數：
n n-1
y = x 則 y' = nx (n為常數)
【注：√x = x^0.5 ，根號也可以用這個求導法則，(√x)' = 1/(2√x) 】
例：y = x^2 + 2x + 3 ，求它的導數？
y'=2x + 2
例：y = 2x^100 ，求它的導數？
y'=2*100x^99 =200x^99
一般指數函數 的導數：
x x
y = a y' = a * ln a (a為常數)
指數函數 的導數：
x x
y = e y' = e
求導的加法法則：
(f + g)' = f' + g'
求導的乘法法則：
(f*g)' = f'g + f g'
求導的鏈式法則（重要！）
f[g(x)] ' = f'[g(x)]*g'(x)
【
解釋鏈式法則：
鏈式法則是用于遇到“復合函數”的求導時才用的，至于復合函數，是指一個函數“嵌套”在另一個函數里面。比如：
_____
y=√2x+1 ，是由根號函數y=√x 和線性函數y = 2x+1 "復合"而成的。對復合函數求導時，先對“外函數”求導，再把“內函數”的導數乘在外面。
比如 _____ _____ 1 y=√2x+1 ，外函數是√2x+1 ,內函數是2x+1，外函數的導數就是 --------- ,內函數的導數是2,因此這個復合函數的導數就是
_____
2√2x+1
1 1
y' = --------- × 2 = ----------
_____ ______
2√2x+1 √2x+1
】
(以上法則有些看不懂沒關系)
導數的用途
導數是微積分的重要概念和基礎。不過，你是否疑惑“導數除了做切線還能干什么用”，事實上導數非常有用而且其樂無窮，用途廣泛。這里僅舉2個簡單的例子說明（這只是導數應用的冰山一角）：
1.物理應用：在物理里，如果一個物體的運動路程與時間的函數為s，則速度函數是s的導數。即 v = s'
2.函數應用：導數可以用來作切線，可以求出函數的 極大/極小值 點。因為函數的極大/極小值點上的切線的斜率為0，所以對于一個函數y，只要求出其導數y' ，其最大最小值一定在方程y'=0的解上。
例：求函數 y = x^3 - x^2 的極值？
易得其導數 y' = 3x^2 - 2x
令y' = 0 即 解方程 3x^2-2x = 0 解得 x = 0 或 x= 2/3
根據圖像可以看出x=0是極大值，x=2/3是極小值。
如果你知道“二階導數”這一概念，你可以用二階導數判斷極大值和極小值而無需畫圖。。而且極值點處二階導數不能為0，否則不是極值。當然，在不清楚二階導數時，你可以用作圖來輔助。
3.計算應用：（傳說中的線性近似）導數可以用來計算近似值。
10
例：計算 0.995
選取函數 y = x^10 ，發現x=0.995這一點跟x=1這一點很接近。我們作出其導數y' = 10x^9 ，
線性近似的概念就是用這一點x=1的切線去逼近x=0.995的值。
易知，x=1時y'=10，即這一點切線斜率為10, 這一點與x=0.995的差距是(1-0.995)=0.005，我們從x=1點開始，按照這一點的切線方向后退0.005，即Δx= -0.005，那么Δy=10 * -0.005 = -0.05，也就是說，按照切線方向，x下降了0.005，y也下降了0.05。
所以計算出的近似值就是 1 - 0.05 = 0.95
10
即 0.995 ≈ 0.95
如果你用計算器來檢驗，你會發現計算器的結果是 0.9511101305，和我們計算的結果非常接近。這就是微分（導數）在近似計算中的應用。
*例2：計算√2 的近似值 1
選取函數y = √x , y' = ------
2√x
我們知道，1.4^2=1.96，（即√1.96 = 1.4）。 1.96跟2很接近，所以我們就用x=1.96這一點的切線來近似x=2的值。
y'在1.96的取值y'(1.96) = 1/(2*1.4) ≈ 0.357，這是x=1.96這一點的切線。
現在讓x增加0.04，則y就會增加0.04*0.357 = 0.01428
所以√2 ≈ 1.4+0.1428 = 1.41428
如果你用計算器來檢驗，你會發現這樣做精確度還是很不錯的：√2 = 1.414213562 ，精確到了小數點后4位。
4.工程應用：導數可以解方程（詳細過程略，參見“牛頓法解方程”）
5.經濟學應用：經濟學中，導數稱為“邊際函數”，是一個重要而基礎的概念。
……
……等等等等……
有趣的問題，這也是微積分的實用之處：
R博士的家在A點。每天，R博士都要開著小汽車去他的公司C上班。他以前一直都是這樣走的：先從家垂直的開到B點，然后進入公路，再開到C點。其中AB=30km,CB=60km,R博士的汽車在公路CB上速度可以達到60km/h，但是在非公路地段只有30km/h。有一天R博士突發奇想，發現如果以某個角度開到某個P點進入公路，他所用的時間將大大縮短。不過現在R博士搞不清BP取多少時，他用的時間會最短。你能幫他確定這個BP的長度嗎？
如果設PB = x km，CP = 60-x
由勾股定理可得，AP= _________ √900 + x2
汽車在AP這段速度是30km/h，在CP這段速度是60km/h，所以可得R博士所需時間T與BP(x)的取值的函數關系： __________ √900 + x^2 60 - x T = ------------ + -------- 30 60
這不過是在求一個函數的極值。首先對它求導：
(注：這個2x↓是因為鏈式法則。內函數900 + x^2 的導數是2x，對復合函數求導時要乘在外面。現在不懂也沒有太大的關系)
2x 1
T' = ----------------- - ------
________ 60
30 * 2√900+x^2
令T' = 0，解方程：
2x 1 ----------------- = ------
________ 60
30 * 2√900+x^2
約分：
x 1 ----------------- = ------
________ 60
30 * √900+x^2
交叉相乘得 ：
________
30√900+x^2 = 60x
兩邊約去30：
________ √900+x^2 = 2x
兩邊同平方：
900+x^2 = 4x^2
移項：
3x^2 = 900
約分：
x^2 = 300
直接開方法（舍去負根）：
____ ______ __
x = √300 = √100*3 = 10√3 ≈ 17.32 km
所以，BP應取17.32 km。R博士應從這個P點進入公路。
【注：嚴格的數學中的導數被定義如下：
函數y=f(x)的導數dy/dx為：
dy Δy f(x+Δx) - f(x)
---- = lim ------ = lim ----------------
dx Δx→0 Δx Δx→0 Δx
在數學中，導數被定義為一個分式Δy/Δx 的極限。 因此導數又稱為“微商”。
】
瞧，微積分在生活中也可以有應用，這也是微積分的實用之處。數學是有趣而美妙的。你是否這樣覺得呢？（：……這篇文章我是希望盡量寫的通俗易懂，但由于本人水平十分有限，不免有許多錯誤及不足之處，或者你仍然看不懂這篇文章，還請各位見諒。。）
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微積分入門之斜率與導數.pdf
2016-6-20 22:26 上傳
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