【引理 1】
對于x^2 + y^2 = z^2，可以假定(x,y) = 1。
因為若 (x,y) = d > 1,則可將方程兩邊同時除以d。
故總是假定(x,y)=1.
因為x、y互質，故x、y不同為偶數，假設x、y同為奇數，則設x=2m+1,y=2n+1
(2m+1)^2 + (2n+1)^2 = z^2，化簡得 4m^2 + 4m + 4n^2 + 4n + 2 = z^2
得到2|z^2 但 4不整除 z^2,這與z是一個正整數矛盾。故x、y不同為奇數。
可假定 x偶，y奇，則
勾股方程 x^2 + y^2 = z^2 的一切正整數解形如下：
x = 2ab
y = a^2 - b^2
z = a^2 + b^2
其中 (a, b) = 1, a、b 一奇一偶，a>b>0.
【證明】
x^2 + y^2 = z^2,由上面討論可知，可設x偶，y奇，且有(x,y)=(y,z)=(x,z)=1.則
x^2 = z^2 - y^2 = (z + y)(z - y) ，設x=2X，則x^2=4X^2，z-y,z+y都是偶數。
X^2 = (z+y)/2 * (z-y)/2
而且((z+y)/2,(z-y)/)=1。否則((z+y)/2,(z-y)/2)=d>1可得d|z，d|y導致d|(z,y)>1矛盾。
因此(z+y)/2 = a^2 , (z-y)/2 = b^2。(a,b)=1
易得z = a^2 + b^2 , y = a^2 - b^2, x = 2ab.
剩下的就很顯然了。
【證明】不定方程 x^4 + y^4 = z^4 無正整數解。
先證明不定方程 x^4 + y^4 = u^2 無正整數解。
如果不定方程 x^4 + y^4 = u^2 有正整數解，那么一定存在一組最小的解，即存在一個最小的v,使得：
x^4 + y^4 = v^2 成立。
此時一定有(x, y) = 1,因為如果(x, y) = d > 1,那么有d^4|x^4, d^4|y^4,可以得到d^4|v^2。也就是d^2|v。此時將方程兩邊同時除以d^4,則得到了：
(x/d)^4 + (y/d)^4 = (v/d^2)^2
這里由于d>1，那么v/d^2一定是小于v的。而x/d、y/d、v/d^2都是正整數，這與v是最小的正整數u矛盾。
故只能(x, y) = 1。有x、y不同時為偶數。
假設x、y同時為奇數，設x = 2m+1, y = 2n+1 ,
則有 (2m+1)^4 + (2n+1)^4 = v^2 ,得到2|v^2但 4不整除v^2，這與v是正整數矛盾。
故x、y不同時為奇數，只能一奇一偶。現假設 x 為偶數，y 為奇數。改寫原方程：
2 2 2
(x^2) + (y^2) = v
這其實是一個勾股方程。由假設x為偶數，y是奇數，我們得到了：
x^2 = 2ab
y^2 = a^2 - b^2
v = a^2 + b^2
其中(a,b)=1, a、b一奇一偶。同時a>b>0.
現在一定有b是偶數，a是奇數。因為如果b是奇數，則有：
y^2 + b^2 = a^2
其中y、b皆為奇數，得到2|a^2，但4不整除a^2。這與a是正整數矛盾。
故只能b為偶數，a為奇數。
由于x、b是偶數，不妨設x=2X，b=2B，則 x^2 = 4X^2 = 4aB，得到 X^2 = aB，因為(a,b)=1，那么一定有(a,B)=1。
由于 X^2 = aB, (a,B)=1 , X是正整數，知道a、B一定都是平方數。
現設 a = c^2, B = d^2, 由(a,B)=1 得到(c,d)=1。
對于 y^2 + b^2 = a^2 ，由于y是奇數，b是偶數，a是奇數，就有：
b = 2kl
y = k^2 - l^2
a = k^2 + l^2
其中 (k, l) = 1, k、l一奇一偶，k > l > 0。
由于 b = 2B = 2d^2,得到 d^2 = kl，又由(k,l)=1，d是正整數，可得到k、l都是平方數。
不妨設 k = K^2, l = L^2, 由(k,l)=1 易得(K,L) = 1。
我們又有 a = c^2, 有 c^2 = k^2 + l^2，就得到了：
K^4 + L^4 = c^2。這里K、L、c 都是正整數。
但是問題在于，v = a^2 + b^2 ,由于這里a、b都是正整數，一定有 a^2<v , b^2<v，而a≤a^2，而且由a = c^2得到 c≤a。
也就是說，一定有 c < v。然而這與v是最小的u矛盾。
因此，方程 x^4 + y^4 = u^2 沒有正整數解。
此時x^4 + y^4 = z^4 也無正整數解，因為它可以改寫成 x^4 + y^4 = (z^2)^2，而z^2是一個正整數。知道這個式子是不可能有正整數解的。
故 x^4 + y^4 = z^4 沒有正整數解，命題得證。
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