一個有趣的恒等式問題

ID:127437 · 發表于 2016-6-20 21:57

設n是一個正整數，直接證明下等式，不允許直接求和。

這個問題和數學里曾經的直接證明

也就是

的問題也許有一定類似之處，但應該不如那個深刻。

大家好像沒有明白這個問題的含義。重點在于，就像問題 2Zeta(2)^2 = 5Zeta(4) 的直接證明那樣（歐拉在17++年曾直接得出過Zeta(2)和Zeta(4)的值，但是其“直接證明”（即運用Zeta(2)來計算Zeta(4)，不允許直接求和）在幾百年內都沒有找到，好像這種恒等式居然“沒有”直接證明似的，甚至尋找其直接的、初等的證明在數論中未解決的問題上很長時間作一直為一個問題出現。（1992年才被證出）），這個問題也有類似含義。關鍵在于，我們要的不是通過計算兩個和式來得到答案，更不是要你運用你的等冪求和或數學歸納法的知識，

我們要的是這個看似是“巧合”：三次和剛好等于一次和的平方的內在原因！

（下面這個只是個優美的配圖，基本上是不符合要求的解答）

注：對于上圖的證明，盡管他沒有用到 Σk^3，但他似乎用到了Σk=n(n+1)/2的事實。而且他這個證明基本上是已經把 Σk^3 的公式求了出來，違背了我們的證明要求。。。。

總之，希望大家一起幫忙找一種優美的證明來。我目前還沒有找到。。。。

最后Remark：這個問題也就是說，希望能找到一種優美的直接證明

的方法。

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