二階常系統非齊次線性方程的特解系數確定

ID:104126 · 發表于 2016-1-24 02:23

ay''+by'+cy=q(x)；
該方程的特征方程：ar^2+br+c=0，根據a，b，c三個不同的數值，可能得出兩個相同的數值、兩個不同的數值或兩個復數值。
當r1=r2=n時且不為復數時，則yH=(k1+k2x)e^nx；
當r1≠r2且不為復數時，則yH=k1*e^r1x+k2*e^r2x；
當r1、r2為復數時，如3±j2，則yH=(K1*cos2x+k2*sin2x)e^3x

該方程特解為：y*=x^k*Q(x)*e^(ax)
確定方式如下：
   當q(x)是一個不含e^ax的普通多項式，如2x^2+4，則可確定y*=ax^2+bx+c，然后求兩次導帶入原方程左側即可。在確定特征方程時需要注意求導后的方程最高系數要與多項式的系數一致，否則無法做系數比較！
   當q(x)是一個含e^ax的多項式或單獨為e^2x的方程，則需要根據a的數值是否與特征方程的解相同來確定k的數值：
         當a∉特征方程任何一個數值時，k=0；
         當a∈特征方程中的任何一個數值時，k=1；
         當a=特征方程的解時，則k=2；
   當q(x)=Acoswx+BsinwX，可設y*=(acoswx+bsinwx)*x^k，確定k的數值如下：
         當jw不是特征方程根時， k=0；
         當jw時特征方程根時，k=1；
   當q(x)=e^x(Acoswx+BsinwX)或e^x*Acoswx(Asinwx)時，可設y*=e^x(acoswx+bsinwx)；

例題：
y''+4y=sinx
解：特征根為r1=r2=±j2，a0=0，β=2
故：yH=K1cos2x+K2sin2x
根據q(x)=sinx
可設特解為y*=(acosx+bsinx)x^0，這里由于p(x)=sinx，其角速度=1，所以j1不是方程的特征根。
再對y*求兩次導并帶入原方程即可求出y*，這不不贅述過程。
最后y=yH+y*=K1cos2x+K2sin2x+1/3sinx

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