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拓撲學(Topology)是在19世紀末興起并在20世紀中迅速蓬勃發展的一門數學分支，其中拓撲變換在許多領域均有其用途。直至今日，從拓撲學所衍生出來的知識已和近世代數、分析共同成為數學理論的三大支柱。
拓撲學的最簡單觀念產生于對周圍世界的直接觀察。直觀的說，關于圖形的幾何性質探討，不限于它們的“度量”性質(長度、角度等等)方面的知識。拓撲學探討各種幾何形體的性質，但是其內容卻與幾何學的范疇不盡相同，多數的討論都是圍繞在那些與大小、位置、形狀無關的性質上。例如，曲線(繩子、電線、分子鏈…)不論有多長，它可以是閉合或不是閉合的。如果曲線是閉合的，則它可以是“纏繞”得很復雜的。兩條以上的閉曲線可以互相套起來，而且有很多型式。立體及它們的表面可以是有“孔洞”的，在不割裂、破壞孔洞下，它們允許做任意的伸縮及變形。這種變形不會減少或增加孔動數量，就叫做它的“拓撲性質”。一個橡皮圈，在它的彈性限度內，任憑我們把它拉長、扭轉，只要不把它弄斷，那么它永遠是一個圈圈。拉長使它的長度改變了，扭轉使它的形狀改變了，然而在拓撲學上不會理會這些，只是專注在“它永遠有一個圈圈”上。
A. 拓撲同胚與等價性質
拓撲學只探討各種幾何形體的內稟特質。一個幾何圖形的性質，經由一拓撲變換作用后維持不變，該性質稱為圖形的拓撲性質。下面兩組圖形從拓撲變換角度來看，它們分別是“等價”的。任何三角形、方形、圓形及橢圓的內稟特質，從拓撲學的立場看來，它們都沒有任何區別。然而，在初等幾何學中，這些圖形的形狀、面積、周長等都是不相同的。
如果我們把一個橡皮制的物體X任意的扭轉、拉長，但不可把它撕開或斷，而得到另一形狀的物體Y，我們稱這兩個物體X和Y在拓撲上是一種“同胚”或“等價”的結構。廣義的來說，在一個物體到另一個物體的對應關系，如果它是不間斷，又不重復，則在拓撲上稱這個關系在兩物體間建立一個“同胚”變換。兩個物體間如果存在有這種關系，則稱它們為“拓撲同胚”。
例如，任意一個三角形在任意延伸、伸縮的變形變換中，可以迭合住一個圓形。所以這個延伸、伸縮變換是一種同胚變換，因而三角形和圓形在拓撲上被視為是同胚或等價的。
拓撲學就是探討同胚的拓撲空間所共有的性質之一門學科。網絡、歐拉定理、曲面、向量場、四色問題、結、覆蓋等，都是拓撲學研究的重要課題。
B. 不可思議的拓撲變換
法國著名數學家龐加萊(Poincaré, 1854～1912)以他豐富的想象力及抽象的思維能力，提出圖1中的兩個物體是等價(同胚)的，也就是說，您可以從其中一個開始，經由拓撲變換得出另一個，您認為可能嗎？ 
圖1
龐加萊的變換魔術：請注意圖2的變換!在拓撲上，只要不破壞原有結構，任意伸縮變形是被允許的，因為總能找到一個同胚的對應來描述這個動作。
圖2
龐加萊的奇怪想法：在車輪內胎上有一個小洞，能否在不撕壞車胎的前提下，通過小洞將車內胎翻面過來(里面翻到外面)？如果可以，該如何操作？
二、莫比烏斯(Möbius)帶
在1862～1865年，德國數學家莫比烏斯(Möbius)和利斯廷的著作中出現了一種有邊緣的曲面。它可以這樣得到：把長方形紙條扭轉一次，然后把兩端接起來。這樣得到的曲面叫做Möbius 帶，見圖3。
圖3
關于Möbius帶是怎樣發現的﹐有這樣一個故事：有一次﹐莫比烏斯在海濱度假。到了晚上﹐蒼蠅太多﹐使他難以入睡。于是他把黏蠅紙扭轉半圈﹐然后把兩端粘到一起﹐形成一個紙環。再把這樣的紙環掛在假期別墅的椽頭上。他臨時制作的捕捉蒼蠅的紙帶很管用﹐他睡覺沒有再受蒼蠅的干擾。早晨醒來﹐他的目光落在那個紙環上﹐驚訝地發現這條紙只有一個面﹐并且只有一條棱。著名的Möbius帶于是誕生了，當然這只是個有趣的傳說。
A. 單側的曲面
這個扭轉一次紙帶所得到的Möbius帶有何特別的幾何性質呢？我們看圖4這個一般的紙環，在紙環內，垂直于紙面的一個法向量，總是由紙面指向圓形紙環的環心處，在紙環外，垂直于紙面的一個法向量，總是指向外面；但是對Möbius 帶而言，就沒有這種情形。
圖4
對Möbius帶而言，它是一種單側的曲面。譬如說，在九章的標志中，沿著帶子上移動的人，路途中會經過他移動的起始點，但是卻在另一側。如果他繼續移動，則會把整個Möbius 帶都走遍。所以可以確定它沒有第二側!
B. 從Möbius 帶中間剪一刀
取一只筆，在制作好的Möbius帶上畫上5圖中昆蟲所走的軌跡，然后取一把剪刀，將Möbius 帶沿軌跡剪開。您有什么發現呢？
圖5
從上面操作中發現，剪一刀后的Möbius帶并不會被分成兩個紙環，而是形成一個更大的紙環。您知道為什么嗎？
如果我們將Möbius帶的紙面寬畫上三等份，沿兩條等分線剪開，及結果會如何？又剪三刀成為四等份呢？
C. Möbius 帶與紙環的拓撲同胚結構
從一條紙帶扭轉一次接合后得到Möbius 帶，經過剪刀剪一刀后，得到一個瘦長的紙環，它是一個紙帶扭轉三次接合后的圖形。可以發現它們都是單側的圖形。
從上述拓撲觀點來看，在它們之間存在一個變換，維持了它們都是單側的性質，稱它們是同胚的。想一想，一個未經扭轉的紙環和一個經由兩次扭轉所得的紙環，是否是同胚？
三、 雙人脫困游戲
在6圖中，如果不解開手腕上的繩結，不破壞、不剪斷繩子的情況下，怎樣幫助他們脫困？將這一對男女分開呢？請找一個同伴一起動手操作試試看!
圖6 四、難題？
在圖7中，最初在位置A的金屬環能否被移往位置B的地方呢？如果可以，該怎么移動？請用塊厚紙板鉆幾個洞，作個玩具試試。 
圖7
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