[分享]交流場到路的演變

ID:40652 · 發表于 2013-3-4 18:00

電路的基礎有三個方程，它們是KVL、KCL和歐姆定律（廣義形式U = Z I）。就算是那些半導體電子器件，多半也是采用適當的等價模型變成電路中的基本理想元件的組合。是否有人懷疑過那幾個方程的合理性？它們來自何方？下面將從場中找到它們的根。

先給出場的八個基本方程。不熟悉者可找《電磁學》查閱。

Maxwell 微分方程(一般形式)
▽?D = ρ
▽?B = 0
▽╳E = - dB/dt
▽╳H = J + dD/dt

連續性方程
▽?J = - dρ/dt

本構關系(constitutive relationships)
J = σE
B = μH
D = εE

這八個方程，構成了電磁場的基石。這些方程中只有六個是獨立的基本方程（其他兩個可被導出），選擇如下六個基本方程：

法拉第電磁感應定律
▽╳E = - dB/dt

安培全電流定律
▽╳H = J + dD/dt

連續性方程
▽?J = - dρ/dt

本構關系
J = σE
B = μH
D = εE

若介質為簡單介質（均勻、線性、各向同性），則有限定形式如下

▽╳E = - dB/dt
▽╳B = μJ + μεdE/dt
▽?J = - dρ/dt
J = σE

利用高斯散度定理和斯托克斯旋度定理，可得積分方程

∮E?dl = - d(∫B?ds)/dt = - dΦ/dt
∮B?dl = μ∫J?ds + μεd(∫E?ds)/dt = μI + μεdΨ/dt
∮J?ds = d(∫ρdv)/dt = dQ/dt
J = σE

至此，得到了四個電磁學基本方程。它們從微觀到宇觀，從靜態到γ波段都得到了充分的實驗驗證。是目前無可挑剔的基本物理規律。

下面在此基礎上，建立KVL，KCL和歐姆定律：

一，KVL

基于法拉第電磁感應定律（積分形式）

∮E?dl = - d(∫B?ds)/dt = - dΦ/dt

沿電路作環路積分，若有電感則沿電感線圈中的導線作環路。

現在作兩個假設（即近似）：

1）假設導線為理想導體，即電阻率為零。
2）假設導線為等勢體，通常波長比導線長一個數量級以上就可以近似認為成立。

由此假設，上式的左邊積分在導線內將為零。環路積分變成了形式ΣUk，其中UK為除電感以外環路中各器件的電勢差（電壓）。
現在再考察等式的右邊。將磁鏈分成兩部分，其一為穿過電感線圈，其二是穿過電路中的環路，表為 - dΦ1/dt – dΦ2/dt。則方程變成：

ΣUk = - dΦ1/dt – dΦ2/dt

現在再作進一步近似，認為dΦ2/dt 很小，可以忽略（通常低頻下是可行的）。再移項可得：

ΣUk + dΦ1/dt = 0

這就是KVL，其中dΦ1/dt表示電感上的電勢差（電壓）。

二，KCL

基于連續性方程（積分形式）

∮J?ds = d(∫ρdv)/dt = dQ/dt

作一個封閉曲面包含電路節點。顯然，絕緣體介質中電流密度為零，上式左邊變成ΣIk，其中IK為某一導線支路電流。現在作一個近似，認為節點處（曲面內）對外無位移電流，即dQ/dt近似為零。便得：

ΣIk = 0

此乃KCL

三，歐姆定律

不難由J = σE，得到I = U / R。至于I = U / Z，不妨可自己利用前面的基本場方程導出電容和電感的表達形式。

至此，從場方程中經適當的假設或近似推導出了電路中的基本方程。從中可以看出電路的基礎和局限。從而也應該知道，在什么條件下需要改造電路中的基本方程以適應特殊的情況。
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