四元數歐拉角解算詳細解說

ID:673470 · 發表于 2019-12-25 13:53

四元數歐拉角解算，姿態解算中要用到的

評估一個物體在空間的姿態，一般都會想到通過該物體與參考平面的傾斜角，就是斜面與斜面之間的夾角。但是計算起來實際上我們要把這個過程分解成很多個矢量。所以解算姿態的時候可以把剛體旋轉分解成三個軸上的歐拉角
首先稍微說一下，歐拉角就是剛體繞三個軸的旋轉角度。歐拉角與旋轉角度和旋轉軸的旋轉順序有關。但是標準上規定XYZ軸為旋轉軸順序。歐拉旋轉與外界的參考系并沒有關系。平時6050得出來的Yaw（繞Z軸）、Pitch（繞X軸）、Roll（繞Y軸）這三個是以地球作為參考系（一般以東、北、天三個方向為參考初始點），所以要區分的是歐拉角本身是以剛體本身為坐標軸的概念。
下面介紹一下歐拉角的致命缺點 Gimbal Lock（萬向節死鎖）
這個先用一句話囊括一下：不同的坐標值對應空間同一個位置，多個坐標值對應同一個位置的不一致性是造成死鎖的根源。
然后就舉個例子：
假如我們有一個望遠鏡和一個用來放望遠鏡的三腳架，（我們將）三腳架放在地面上，使支撐望遠鏡的三腳架的頂部是平行于地平面（參考平面）的，以便使得豎向的旋轉軸（記為 x 軸）是完全地垂直于地平面的。現在，我們就可以將望遠鏡饒 x 軸旋轉 360 度，從而觀察（以望遠鏡為中心的）水平包圍圈的所有方向。通常將正北朝向方位角度記為 0 度方位角。第二個坐標軸，即平行于地平面的橫向的坐標軸（記為 y 軸）使得望遠鏡可以饒著它上下旋轉，通常將地平面朝向的仰角記為 0 度，這樣，望遠鏡可以向上仰+90 度指向天頂，或者向下-90 度指向腳底。好了，萬事俱備。現在，天空中（包括地面上）的每個點只需要唯一的一對 x 和 y 度數就可以確定。比如 x=90 度,y=45 度指向的點是位于正東方向的半天空上。
現在，看看萬向節死鎖是怎么發生的。一次，我們探測到有一個飛行器貼地飛行，位于望遠鏡的正東方向（x=90 度，y=10 度），朝著我們直飛過來，我們跟蹤它。飛行器飛行方向是保持 x 軸角度 90 度不變，而 y 向的角度在慢慢增大。隨著飛行器的臨近，y 軸角增長的越來越快且當 y 向的角度達到 90 度時（即將超越），突然它急轉彎朝南飛去。這時，我們發現我們不能將望遠鏡朝向南方，因為此時 y 向已經是 90 度，造成我們失去跟蹤目標。這就是萬向節死鎖！
為什么說不能將望遠鏡朝向南方呢，讓我們看看坐標變化，從開始的（x=90 度，y=10度）到（x=90 度，y=90 度），這個過程沒有問題，望遠鏡慢慢轉動跟蹤飛行器。當飛行器到達（x=90 度，y=90 度）后，坐標突然變成（x=180 度，y=90 度）（因為朝南），x 由 90突變成 180 度,所以望遠鏡需要饒垂直軸向 x 軸旋轉 180-90=90 度以便追上飛行器,但此時，望遠鏡已經是平行于 x 軸，我們知道饒平行于自身的中軸線的的旋轉改變不了朝向，就象擰螺絲一樣，螺絲頭的指向不變。所以望遠鏡的指向還是天頂。而后由于飛行器飛遠，坐標變成（x=180 度，y<90 度）時，y 向角減小，望遠鏡只能又轉回到正東指向，望’器’興嘆。這說明用 x,y 旋轉角（又稱歐拉角）來定向物體有時并不能按照你想像的那樣工作，象上面的例子中從（x=90 度，y=10 度）到（x=90 度，y=90 度），按照歐拉角旋轉確實可以正確地定向，但從（x=90 度，y=90 度）到（x=180 度，y=90 度），再到（x=180 度，y<90 度）,按照歐拉角旋轉后的定向并非正確。我的理解是坐標值的變化和飛行器空間的位置變化一一對應，但是從（x=90 度，y=90 度）到（x=180 度，y=90 度），再到（x=180 度，y<90度）這個變化，飛行器位置是連續的變化，但坐標值的變化卻不是連續的（從 90 突變到180），其原因在于（x=90 度，y=90 度）和（x=180 度，y=90 度）甚至和（x=任意度，y=90 度）這些不同的坐標值對應空間同一個位置。。。
同樣對于2維或者3維都是一樣的（例子是抄的、、、）
現在介紹一下方向余弦，為什么類？一方面方向余弦可以表示矢量在坐標軸中的位置，二是可以簡化運算。詳見下。。
剛剛說過可以用方向余弦表示矢量在坐標軸的位置，也就是說可以得出載體坐標軸xyz分別與參考坐標軸XYZ的方向余弦。形成余弦矩陣

第i行、第j列的元素表示參考坐標系i軸和載體坐標系j軸夾角的余弦。
回過頭來再比較一下歐拉角和方向余弦其實沒有什么區別，就是用方向余弦表示歐拉角。這兩個的坐標變換在《慣性導航》里面都有相應的推導。（此處略）

三個坐標軸的變換用矩陣表示就是這樣

此處再說明一下矩陣的意義。
C 表示坐標系1到坐標系2的變換矩陣

在線性代數中兩復雜矩陣的變化可通過有限的矩陣相乘的運算獲得，當然在坐標系中同樣也適用。兩坐標系任何復雜的角位置關系都可以看做有限次基本旋轉的組合