傅里葉分析在電力系統中的具體應用 利用傅里葉變換對諧波進行分析 摘要：在供電系統中諧波電流的出現已經有許多年了。過去，諧波電流是由電氣化鐵路和工業的直流調速傳動裝置所用的，由交流變換為直流電的水銀整流器所產生的。近年來，產生諧波的設備類型及數量均已劇增，并將繼續增長。所以，必須很慎重地考慮諧波和它的不良影響，以及如何將不良影響減少到最小。本文基于傅里葉變換既可以檢測諧波又可以用于頻譜的分析，對電力系統的諧波進行了研究和探索。 關鍵詞：電力系統 諧波 傅里葉變換 正文： 一、諧波及其產生原因 所謂諧波，是隨周期性交流量進行傅里葉級數分解，得到的頻率大于1 的整數倍分量。在理想的干凈供電系統中，電流和電壓都是正弦波的。這不但給電力系統的分析設計帶來方便，而且使系統及用電設備的運作處于最佳狀態。在只含線性元件(電阻、電感及電容)的簡單電路里，流過的電流與施加的電壓成正比，流過的電流是正弦波。但在實際的供電系統中，由于電力系統中某些設備和負荷的非線性特性，即所加的電壓與產生的電流不成線性比例而造成的波形畸形。當電力系統向非線性設備及負荷供電時,這些設備或負荷在傳遞(如變壓器)、變換(如交直流換流器)、吸收(如電弧爐)系統發電機所供給的基波能量的同時,又把部分基波能量轉換為諧波能量,向系統倒送大量的高次諧波,使電力系統的正弦波形畸變,電能質量降低。任何周期性波形均可通過傅里葉級數分解為一個基頻正弦波加上許多諧波頻率的正弦波。諧波頻率是基頻的整倍數，例如基頻為50Hz，二次諧波為100Hz，三次諧波則為150Hz。因此畸變的電流波形可能有二次諧波、三次諧波……可能直到第三十次諧波組成。 二、諧波的危害及消除諧波的必要性 電網諧波造成電網污染，正弦電壓波形畸變，使電力系統的發供用電設備出現許多異常現象和故障，情況日趨嚴重。電力系統中諧波的危害是多方面的，概括起來有以下幾個方面： 1. 對供配電線路的危害 (1) 影響線路的穩定運行：供配電系統中的電力線路與電力變壓器一般采用電磁式繼電器、感應式繼電器或晶體管繼電器予以檢測保護，使得在故障情況下保證線路與設備的安全。但由于電磁式繼電器與感應式繼電器對10%以下含量高達40%時又導致繼電保護誤動作，因而在諧波影響下不能全面有效地起到保護作用。晶體管繼電器雖然具有許多優點，但由于采用了整流取樣電路，容易受諧波影響，產生誤動或拒動。這樣，諧波將嚴重威脅供配電系統的穩定與安全運行。 (2) 影響電網的質量：電力系統中的諧波能使電網的電壓與電流波形發生畸變。如民用配電系統中的中性線，由于熒光燈、調光燈、計算機等負載，會產生大量的奇次諧波，其中3次諧波的含量較多，可達40%；三相配電線路中，相線上的3的整數倍諧波在中性線上會疊加，使中性線的電流值可能超過相線上的電流。另外，相同頻率的諧波電壓與諧波電流要產生同次諧波的有功功率與無功功率，從而降低電網電壓，浪費電網的容量。 2. 對電力設備的危害 (1)對電力電容器的危害：當電網存在諧波時，投入電容器后其端電壓增大，通過電容器的電流增加得更大，使電容器損耗功率增加。對于膜紙復合介質電容器，雖然允許有諧波時的損耗功率為無諧波時損耗功率的1.38倍；對于全膜電容器允許有諧波時的損耗功率為無諧波時的1.43倍,但如果諧波含量較高,超出電容器允許條件,就會使電容器過電流和過負荷,損耗功率超過上述值，使電容器異常發熱，在電場和溫度的作用下絕緣介質會加速老化。尤其是電容器投入在電壓已經畸變的電網中時，還可能使電網的諧波加劇，即產生諧波擴大現象。另外，諧波的存在往往使電壓呈現尖頂波形，尖頂電壓波易在介質中誘發局部放電，且由于電壓變化率大，局部放電強度大，對絕緣介質更能起到加速老化的作用，從而縮短電容器的使用壽命。一般來說，電壓每升高10%，電容器的壽命就要縮短1/2左右。再者，在諧波嚴重的情況下，還會使電容器鼓肚、擊穿或爆炸。 (2)對電力變壓器的危害：諧波使變壓器的銅耗增大，其中包括電阻損耗、導體中的渦流損耗與導體外部因漏磁通引起的雜散損耗都要增加。諧波還使變壓器的鐵耗增大，這主要表現在鐵心中的磁滯損耗增加，諧波使電壓的波形變得越差，則磁滯損耗越大。同時由于以上兩方面的損耗增加，因此要減少變壓器的實際使用容量，或者說在選擇變壓器額定容量時需要考慮留出電網中的諧波含量。除此之外，諧波還導致變壓器噪聲增大，變壓器的振動噪聲主要是由于鐵心的磁致伸縮引起的，隨著諧波次數的增加，振動頻率在1KHZ左右的成分使混雜噪聲增加，有時還發出金屬聲。 (3)對電力電纜的危害：由于諧波次數高頻率上升，再加之電纜導體截面積越大趨膚效應越明顯，從而導致導體的交流電阻增大，使得電纜的允許通過電流減小。另外，電纜的電阻、系統母線側及線路感抗與系統串聯，提高功率因數用的電容器及線路的容抗與系統并聯，在一定數值的電感與電容下可能發生諧振。 (4)對用電設備的危害 ①對電動機的危害：諧波對異步電動機的影響，主要是增加電動機的附加損耗，降低效率，嚴重時使電動機過熱。尤其是負序諧波在電動機中產生負序旋轉磁場，形成與電動機旋轉方向相反的轉矩，起制動作用，從而減少電動機的出力。另外電動機中的諧波電流，當頻率接近某零件的固有頻率時還會使電動機產生機械振動，發出很大的噪聲。 ②對低壓開關設備的危害：對于配電用斷路器來說，全電磁型的斷路器易受諧波電流的影響使鐵耗增大而發熱，同時由于對電磁鐵的影響與渦流影響使脫扣困難，且諧波次數越高影響越大；熱磁型的斷路器，由于導體的集膚次應與鐵耗增加而引起發熱，使得額定電流降低與脫扣電流降低；電子型的斷路器，諧波也要使其額定電流降低，尤其是檢測峰值的電子斷路器，額定電流降低得更多。由此可知，上述三種配電斷路器都可能因諧波產生誤動作。對于漏電斷路器來說，由于諧波匯漏電流的作用，可能使斷路器異常發熱，出現誤動作或不動作。對于電磁接角器來說，諧波電流使磁體部件溫升增大，影響接點，線圈溫度升高使額定電流降低。對于熱繼電器來說，因受諧波電流的影響也要使額定電流降低。在工作中它們都有可能造成誤動作。 (5)對弱電系統設備的干擾：對于計算機網絡、通信、有線電視、報警與樓宇自動化等弱電設備，電力系統中的諧波通過電磁感應、靜電感應與傳導方式耦合到這些系統中，產生干擾。其中電感應與靜電感應的耦合強度與干擾頻率成正比，傳導則通過公共接地耦合，有大量不平衡電流流入接地極，從而干擾弱電系統。 (6)影響電力測量的準確性：目前采用的電力測量儀表中有磁電型和感應型，它們受諧波的影響較大。特別是電能表(多采用感應型)，當諧波較大時將產生計量混亂，測量不準確。 (7)諧波對人體有影響：從人體生理學來說，人體細胞在受到刺激興奮時，會在細胞膜靜息電位基礎上發生快速電波動或可逆翻轉，其頻率如果與諧波頻率相接近，電網諧波的電磁輻射就會直接影響人的腦磁場與心磁場。 因此我們必須對電力系統中的諧波成分進行精確適時的分析和檢測。 傳統的諧波分析的理論基 礎是傅里葉分析，隨著計算機、微處理器的廣泛應用，數字技術在這一領域越來越多的被采用，出現了離散采樣的傅里葉變換（又稱為快速傅里葉變換FFT），電力系統的諧波分析目前大多是通過該方法實現的。離散傅里葉變換所要處理的是經過采樣和A/D轉換得到的數字信號，但由于傅里葉變換對無限長的信號做了截斷，因而造成了變換的泄露現象，產生誤差。此外，對于離散傅里葉變換來說，如果不是整周期采樣，那么即使信號只含有單一頻率、離散傅里葉變換也不可能求出信號的準確參數，出現柵欄效應。 傅里葉變換它把一個信號函數分解為眾多的頻率成分，這頻率又可以重構原來的信號函數，這種變換是可逆的且保持能量不變。對于滿足狄里赫利條件的周期函數f(t)，其周期為T，角頻率 ，其傅里葉級數三角表達式為 ，系數 稱為傅里葉系數。其中 ， ，n=0、1、2、…。將上式中同頻率項合并，可寫成 ，其中 ， ，n=1、2、3、…， 。式中表明，任何滿足狄里赫利條件的周期函數可分解為直流和許多余弦（或正弦）分量。其中第一項 是常數項，它是周期信號中所包含的直流分量，式中第二項 稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同， 是基波振幅， 是基波初相角；式中第三項 稱為二次諧波，它的頻率是基波頻率的二倍， 是二次諧波振幅， 是其初相角。以此類推，還有三次、四次、…諧波。一般而言， 稱為n次諧波， 是n次諧波的振幅， 是其初相角。因此，我們將周期信號分解為各次諧波分量，從物理意義上來講，傅里葉變換的本質就是把f(t)這個波形分解成許多不同頻率的余弦波的疊加和。 對于傅里葉變換目前存在問題是由于其時域和頻域的局部化矛盾，難以獲得信號的局部特性，且只適用于確定性的平穩信號，即使改進后的加窗傅里葉變換也仍然沒有從根本上解決這一固有矛盾。所謂加窗傅里葉變換又被稱為短時傅里葉變換，就是加了窗的函數的傅里葉變換（WFFT）。然而這種方法應用時，為了提高諧波計算的精度，必須要延長數據采樣的長度來一直諧波間的相互干擾，一般截取長度達到10個額定工頻信號周期之多。數據長度的增加，勢必造成檢測的延時，處理數據的增多，將加重系統的計算負擔，這些都對電力系統的實時檢測造成了影響。 四、窗函數 基本定義：為了減少頻譜能量泄漏，可采用不同的截取函數對信號進行截斷，截斷函數稱為窗函數，簡稱為窗。 窗的引入：數字信號處理的主要數學工具是傅里葉變換．而傅里葉變換是研究整個時間域和頻率域的關系。不過，當運用計算機實現工程測試信號處理時，不可能對無限長的信號進行測量和運算，而是取其有限的時間片段進行分析。做法是從信號中截取一個時間片段，然后用截取的信號時間片段進行周期延拓處理，得到虛擬的無限長的信號，然后就可以對信號進行傅里葉變換、相關分析等數學處理。無限長的信號被截斷以后，其頻譜發生了畸變，原來集中在f(0)處的能量被分散到兩個較寬的頻帶中去了（這種現象稱之為頻譜能量泄漏）。為了減少頻譜能量泄漏，可采用不同的截取函數對信號進行截斷，截斷函數稱為窗函數，簡稱為窗。 對于窗函數的選擇，應考慮被分析信號的性質與處理要求。如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用主瓣寬度比較窄而便于分辨的矩形窗，例如測量物體的自振頻率等；如果分析窄帶信號，且有較強的干擾噪聲，則應選用旁瓣幅度小的窗函數，如漢寧窗、三角窗等；對于隨時間按指數衰減的函數，可采用指數窗來提高信噪比，下面簡要介紹各種窗函數的優缺點。 矩形窗屬于時間變量的零次冪窗。矩形窗使用最多，習慣上不加窗就是使信號通過了矩形窗。這種窗的優點是主瓣比較集中，缺點是旁瓣較高，并有負旁瓣，導致變換中帶進了高頻干擾和泄漏，甚至出現負譜現象。 三角窗亦稱費杰（Fejer）窗，是冪窗的一次方形式。與矩形窗比較，主瓣寬約等于矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無負旁瓣。 漢寧窗又稱升余弦窗，漢寧窗可以看作是3個矩形時間窗的頻譜之和，或者說是 3個 sinc（t）型函數之和，而括號中的兩項相對于第一個譜窗向左、右各移動了 π/T，從而使旁瓣互相抵消，消去高頻干擾和漏能。可以看出，漢寧窗主瓣加寬并降低，旁瓣則顯著減小，從減小泄漏觀點出發，漢寧窗優于矩形窗．但漢寧窗主瓣加寬，相當于分析帶寬加寬，頻率分辨力下降。 海明窗也是余弦窗的一種，又稱改進的升余弦窗。海明窗與漢寧窗都是余弦窗，只是加權系數不同。海明窗加權的系數能使旁瓣達到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰減為一42dB．海明窗的頻譜也是由3個矩形時窗的頻譜合成，但其旁瓣衰減速度為20dB/（10oct），這比漢寧窗衰減速度慢。海明窗與漢寧窗都是很有用的窗函數。 高斯窗是一種指數窗。高斯窗譜無負的旁瓣，第一旁瓣衰減達一55dB。高斯富譜的主瓣較寬，故而頻率分辨力低．高斯窗函數常被用來截短一些非周期信號，如指數衰減信號等。 不同的窗函數對信號頻譜的影響是不一樣的，這主要是因為不同的窗函數，產生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。信號的截斷產生了能量泄漏，而用FFT算法計算頻譜又產生了柵欄效應，從原理上講這兩種誤差都是不能消除的，但是我們可以通過選擇不同的窗函數對它們的影響進行抑制。(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識別精度最高，幅值識別精度最低；布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識別精度最低，但幅值識別精度最高) 實際應用的窗函數，可分為以下主要類型： a) 冪窗--采用時間變量某種冪次的函數，如矩形、三角形、梯形或其它時間（t）的高次冪； b)三角函數窗--應用三角函數，即正弦或余弦函數等組合成復合函數，例如漢寧窗、海明窗等； c)指數窗--采用指數時間函數，如 形式，例如高斯窗等。 五、應用舉例 已知我國電網電壓有效值為220V，峰值為311V，電網電壓除含有頻率為50Hz的基頻電壓外，還含有諧波分量，設某一電壓的函數形式為 y=sin(100*pi*t)+0.4*sin(300*pi*t)+sin(600*pi*t)+0.8*sin(800*pi*t); 利用MATLAB進行仿真并觀察波形如下： 
圖1 由圖1可以看出，此電壓經過傅里葉變換后，波形整體有較大的波動，基波占波形的主要部分，另一方面三、五、七次諧波對波形影響大，因為電網一般是平衡的三相系統，在平衡的三相系統中，偶次諧波互相抵消，是沒有危害的，而高次諧波對波形影響較小，所以我們要做的就是盡量減小三五七次諧波的含量，在此基礎上分別加窗函數進行仿真實驗，如：加漢寧窗后，波形如下： 
圖2 通過圖2可看出雖然基波的幅度減小了但同時三次諧波的幅度也同樣減小了，而且對于五次和七次諧波甚至直接消失，與上圖1對比可知已達到我們所需要的要求。作為經典的信號分析方法，傅里葉變換具有正交、完備等許多優點，能準確的反映平穩諧波的頻率特性，因而在信號分析領域得到廣泛應用。采用傅里葉變換測量諧波，精度較高，功能較多，使用方便。其缺點是需要一定時間的電流值，且需要進行兩次變換，它的計算量大，計算時間長，從而使得檢測時間較長，檢測結果實時性較差。而且在采樣過程中，當信號頻率和采樣頻率不一致時，使用該方法會產生頻譜泄露效應和柵欄效應，使計算出的信號參數，即頻率、幅值和相位，不準確，尤其是相對的相位誤差很大，無法滿足測量精度的要求，因此必須對算法進行改進，加快測量速度。基于快速傅里葉變換的諧波測量時當今應用最廣泛的一種高效變換算法，它可以直接得到波形各頻譜分量。而各種加窗的傅里葉變換算法的提出使得傅里葉變換的應用越來越廣泛。
程序如下：
Fs=1100;%大于2倍最大諧波頻率
T=1/Fs;
P=100;
t=(0:P-1)*T;
%% 采樣個數
H=2^nextpow2(P);
%% 采樣信號
y=sin(100*pi*t)+0.4*sin(300*pi*t)+sin(600*pi*t)+0.8*sin(800*pi*t);
subplot(4,2,[1,2])
plot(t,y)
title('原始信號')
xlabel('時間（t）')
ylabel('幅值')
Y=fft(y,H)/P;
f=Fs/2*linspace(0,1,H/2+1);
subplot(4,2,3)
plot(f,2*abs(Y(1:H/2+1)))
title('fft后')
xlabel('頻率（Hz）')
ylabel('幅度|Fn|')
hanningc = hann(length(y));%加漢寧窗
yt2 = y.*hanningc';
Y=fft(yt2,H)/P;
f=Fs/2*linspace(0,1,H/2+1);
subplot(4,2,5)
plot(f,2*abs(Y(1:H/2+1)))
title('加漢寧窗')
xlabel('頻率（Hz）')
ylabel('幅度|Fn|')
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