誰說做硬件的玩不轉數學：大神教你用示波器解微分方程

ID:621124 · 發表于 2019-10-30 11:01

微積分方程拉開了現代數學和現代物理的序幕，具有里程碑的意義。反正就是一個很牛逼的東西。在座的各位，哦不，在看的各位，我敢說十有八九都是一臉懵逼的進來。

但我，必須不能讓各位一臉懵逼的出去。

微分的解釋在書上說的很詳細，各種啪啪啦啦的描述，我可以詳細的把他們摘錄下來。但這明顯有違我的初衷，因為我摘錄下來很多人也看不懂，包括我自己。但從各種書刊論文的字里行間中我隱約地看出兩個字符，那就是dy/dx。

我們可以認為一個函數在某一點的微分方程解就是該點的Y向量除以該點的X向量。

1.

導數微分的描述為dy/dx。

2.

3.

微分,實質還是極限。

4.

示波器可以極快的分割波形的X和Y向量，所以可以用示波器來驗證波形的微分方程解。

我選用FreeTest的示波器來做詳解。大家也可以稱它為"牛頓.萊布尼茲.示波器"

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2019-10-30 10:58 上傳

Freetest無線示波器

SIN的微分解

先來上一個基礎的sin(a)波形。這個大家應該都知道微分方程解是cos(a)。什么？你不知道，那就假裝知道吧，給我一個臺階下。

示波器內置的數學運算

圖中，藍色波形是采集的sin正弦波信號，紅色是經過示波器微分處理后的cos信號。

詳細的數學求解公式來一波。學霸的往下看，和我一樣是學渣的直接跳過看結果。

<sin的微分求解過程開始>

(sina)'=lim(b->0)[sin(a+b)-sina]/b

因為sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

這里b無窮小,有cosb=1.

于是lim(b->0)[sin(a+b)-sina]/b

=lim(b->0)[cosasinb]/b

當b無窮小,有sinb/b=1.所以

lim(b->0)[sin(a+b)-sina]/b =cosa

<sin的微分求解過程完成>

結論：和示波器顯示的完全一樣，cos(a)。

直線的微分解

我們知道常量的微分解是0，那么，直線的微分解呢？

測量直線波形并求微分（三角波的一個斜率）

結論：直線的微分方程是一個常量。

這個的求解過程我就不發出來了，怕被各位嘲笑。

三角波的微分解

三角波是由兩條直線組成，按照直線的微分是一個常量的描述，那么三角波的微分就應該是兩個不同的常量間隔組成。來，上圖驗證下。

三角波及其微分運算結果

結論：三角波的微分是個方波。

方波的微分解

方波可以認為是常量加躍變合成的波形，按照"微分,實質還是極限"這個定義來看，常量部分應該是0，然后上升沿部分應該是個正脈沖，下降沿部分應該是個負脈沖。

方波及其微分運算結果

結論：上面的推論是正確的。

指數的微分解

指數函數稍微復雜點。

指數函數及其微分運算結果

我們排除躍遷部分，單看一個周期的指數函數。可以發現，紅色微分波形其實也是一個指數函數，但變化幅度沒有原本指數變化的快。

結論：指數函數的微分解為(a^x)'=a^xlna。

洛倫茲脈沖

高斯線型和洛倫茲線型是常用在光譜中描述峰形狀的曲線。

洛倫茲線型函數的簡單形式為：L=1/(1+x^2)。

如上圖所示。但微分方程我暫時不會解。

調頻正弦波

結論：調頻正弦波的微分解是個調頻余弦波。這個大家可以嘗試著思考下。

我們再來看幾個方程式比較復雜的波形，這個我就不簡述他們的求解過程了。

辛克脈沖

多級合成波

噪聲

噪聲其實是最復雜的方程組集合，當然其微分解也必然是各種方程組的集合。結果，看起來就又是一個噪聲了。

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最后，看看使用的設備是什么：

泰思科技的無線示波器

看起來還是非常便攜方便

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