MATLAB是Math Works公司開發(fā)的，目前國際上最流行，應用最廣泛的科學與工程計算軟件。MATLAB又稱為“矩陣實驗室”，其強項就是高效的矩陣計算。MATLAB集成了二維和三維圖形功能,以完成相應數(shù)值可視化的工作，并且提供了一種交互式的高級編程語言—M語言，利用M明天。語言可以通過編寫腳本或者函數(shù)文件實現(xiàn)用戶自己的算法。

Simulink是基于MATLAB的框圖設(shè)計環(huán)境，可以用來對各種動態(tài)系統(tǒng)進行建模分析和仿真。Simulink提供了利用鼠標拖拽的方法建立系統(tǒng)框圖模型的圖形界面，而且Simulink還提供了豐富的功能塊和不同的專業(yè)模塊集合，利用Simulink幾乎可以做到不書寫一行代碼完成整個動態(tài)系統(tǒng)的建模工作。

倒立擺是自動控制領(lǐng)域典型的控制對象，為眾多研究人員驗證控制理論及算法所采用。本實驗的便攜式倒立擺系統(tǒng)，是一個具有多控制對象、模塊化、多實驗環(huán)境、拆裝方便等特點的典型對象。近年來，新的控制方法不斷出現(xiàn)，人們試圖通過倒立擺這樣一個典型的控制對象，檢驗新的控制方法是否有較強的處理多變量、非線性和絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)的能力，從而從中找出最優(yōu)秀的控制方法。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中的一種比較理想的實驗手段，為自動控制理論的教學、實驗和科研構(gòu)建一個良好的實驗平臺，以用來檢驗某種控制理論和方法的典型方案，促進了控制系統(tǒng)新理論、新思想的發(fā)展。

由于控制理論的廣泛應用，由此系統(tǒng)研究產(chǎn)生的方法和技術(shù)將在半導體及精密儀器加工、機器人控制技術(shù)、人工智能、導彈攔截控制系統(tǒng)、航空對決控制技術(shù)、火箭發(fā)射中的垂直度控制、衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制和一般工業(yè)應用等方面具有廣闊的利用開發(fā)前景。

直線一級倒立擺由直線運動模塊和一級擺體組件組成，是最常見的倒立擺之一。該系統(tǒng)相對其他倒立擺較為簡單，但能體現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)控制的基本思想，故主要針對直線一級倒立擺進行設(shè)計。

倒立擺的控制目標：倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快的達到一個平衡位置，并且使之沒有大的振蕩和過大的角度和速度。當擺桿達到期望的位置后，系統(tǒng)能克服隨機擾動而保持穩(wěn)定的位置。

倒立擺控制系統(tǒng)輸出為擺桿角度和小車位置，通過對控制對象設(shè)計合適的校正環(huán)節(jié)，使得擺桿起擺后保持穩(wěn)擺，設(shè)計方式有跟軌跡法、頻域法、PID法，串聯(lián)校正方式又有超前校正、滯后矯正、滯后—超前矯正。不同分析方式的特點選擇合適校矯正方法，設(shè)計合適的控制器，使系統(tǒng)滿足相應的指標。本設(shè)計主要是采用根軌跡法和PID法。

旋轉(zhuǎn)編碼器是一種角度傳感器，它分為光電式、接觸式和電磁感應式三種。我們在閉環(huán)系統(tǒng)中常用光電式編碼器來測角度。旋轉(zhuǎn)編碼器有增量編碼器和絕對編碼器兩種，它由發(fā)光元件、光電碼盤、光敏元件和光電檢測裝置組成。由于光電式脈沖編碼盤每轉(zhuǎn)過一個分辨角就發(fā)出一個脈沖信號，因此，根據(jù)脈沖數(shù)目可得出工作軸的回轉(zhuǎn)角度，由傳動比換算出直線位移距離；根據(jù)脈沖頻率可得工作軸的轉(zhuǎn)速；根據(jù)、兩相信號的相位先后，可判斷光電碼盤的正、反轉(zhuǎn)，以得到待測裝置轉(zhuǎn)向。

由于光電編碼器輸出的檢測信號是數(shù)字信號，因此可以直接進入計算機進行處理，不需放大和轉(zhuǎn)換等過程，使用非常方便，因此應用越來越廣泛。

由于狀態(tài)反饋要求被控系統(tǒng)是一個線性系統(tǒng)，而倒立擺系統(tǒng)本身是一個非線性的系統(tǒng)，因此用狀態(tài)反饋來控制倒立擺系統(tǒng)，首先要將這個非線性系統(tǒng)近似成為一個線性系統(tǒng)。在忽略了空氣流動和各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)。

圖2.1 直線一級倒立擺運動示意圖

M 小車質(zhì)量

m 擺桿質(zhì)量

b 小車摩擦系數(shù)

l   擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度

I 擺桿慣量

F 加在小車上的力

x 小車位置

擺桿與垂直向上方向的夾角

擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）

圖2.2 小車受力圖                           圖2.3 擺桿受力圖

圖2.2和圖2.3是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中N 和P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量，圖示方向為矢量正方向。

分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程:

                       （1）

由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式:

              （2）

即：              （3）

把這個等式代入(1)式中，就得到系統(tǒng)的水平方向運動方程:

                 （4）

對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到：

                 （5）

                 （6）

力矩平衡方程：

                            （7）

合并式（6）、（7）消去P和N得到第二個方程：

           （8）

設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即<<1，則可以進行近似處理:

                    （9）

用u來代表被控對象的輸入力F，線性化后兩個運動方程如下:                                 

                      (10)

    對方程組(9)式進行拉普拉斯變換，得到方程組:

    (11)

    注意:推導傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度，求解方程組的第一個方程，可以得到:

                   (12)

如果令 ,則有:

                     (13)

    把上式代入方程組的第二個方程，得到:

(14)

    整理后得到傳遞函數(shù):

(15)

其中

    設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為:

                                 (16)

方程組對解代數(shù)方程，得到解如下:

(17)

    整理后得到以外界作用力(u來代表被控對象的輸入力F)作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:

(18)

  (19)

    由方程組(9)得第一個方程為:

                               (20)

    對于質(zhì)量均勻分布的擺桿有:

                                               (21)

    于是可以得到:

                       (22)

化簡得到:   

                 (23)

    設(shè),則可以得到以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:

(24)

  (25)

以小車加速度為控制量，擺桿角度為被控對象，此時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

                              (26)

將物理參數(shù)代入上面的系統(tǒng)狀態(tài)方程和傳遞函數(shù)中得到系統(tǒng)精確模型。系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

:(27)

  (28)

    系統(tǒng)傳遞函數(shù):

                       (29)

上面已經(jīng)得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程式，對其進行階躍響應分析，在MATLAB命令窗口鍵入以下命令:

A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 60 0];

B=[0 1 0 6.122]’;

C=[1 0 0 0;0 0 1 0];

D=[0 0]’;

step(A,B,C,D);

圖2.4 階躍響應曲線

從圖中分析，未校正前系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

由系統(tǒng)傳遞函數(shù)（29）式可得其特征方程為：

                                       （30）

可得其特征根為：。顯然，有一個特征根位于s平面的右半平面，所以便攜式直線一級倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

根據(jù)傳遞函數(shù)式 ，利用MATLAB得到原系統(tǒng)的根軌跡，如圖3.1，有兩個極點，無零點。

MATLAB程序設(shè)計如下：

num=[6.122];

den=[1,0,-60];

rlocus(num,den);

z=roots(num);

p=roots(den)

圖3.1 校正前的根軌跡圖

從根軌跡上可以看出，有一條根軌跡起始于右半平面的極點，兩條根軌跡沿著虛軸向無限遠處延伸，這意味著無論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，必須增加控制器對其進行校正。

從根軌跡圖中可得，系統(tǒng)并不穩(wěn)定，因此需要對系統(tǒng)進行超前校正，對于傳遞函數(shù)為：

設(shè)計控制器使得校正后系統(tǒng)的性能指標如下：

調(diào)整時間、最大超調(diào)量，；

確定閉環(huán)期望極點的位置，由最大超調(diào)量：

可以得到，取，由得rad，其中為位于第二象限的極點和原點的連線與實軸負方向的夾角。

又由，可以得到，取，于是可以得到期望的閉環(huán)極點=

未校正系統(tǒng)的根軌跡在實軸和虛軸上，不通過閉環(huán)期望極點，因此需要對系統(tǒng)進行超前校正，設(shè)控制器為：

計算超前校正裝置應提供的相角，已知系統(tǒng)原來的極點在主導極點產(chǎn)生的滯后相角和為：

    所以一次校正裝置提供的相角為：

設(shè)計超前校正裝置，已知，對于最大的值的角度：

圖3.2  根軌跡校正計算圖

按最佳確定法作圖規(guī)則，在上圖中畫出相應的直線，求出超前校正裝置的零點和極點，分別為：

校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

由幅值條件，并設(shè)反饋為單位反饋，即。

    求得：

于是我們得到了系統(tǒng)的控制器：

    校正后用Matlab繪制根軌跡和階躍響應曲線的程序如下：

num=[6.122];

den=[1 0 -60];

numlead=-7.0675;

denlead=-21.4332;

[Z,P,K]=tf2zp(num,den);

Za=[Z;numlead];

Pa=[P;denlead];

[num2,den2]=zp2tf(Za,Pa,K);

sys=tf(num2,den2);

rlocus(sys);

figure

KK=48.6810;

sys2=zpk(Za,Pa,KK*K);

sysc=sys2/(1+sys2);

t=0:0.01:3;

step(sysc,t);

在第一次調(diào)試時，選擇的時，得到的根軌跡以及階躍響應曲線如圖3.3所示，可得，出現(xiàn)了超調(diào)，若要解決此問題則要重新選擇進行設(shè)計，可以采用增加阻尼，重復上面的設(shè)計方法，重新設(shè)計，直到系統(tǒng)的響應滿足要求。或者在保持角不變的情況下，將校正裝置的零點向左側(cè)偏移，以減少閉環(huán)零點和極點的影響。

圖3.3 出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象圖

圖3.4 校正后根軌跡圖

圖3.5 校正后系統(tǒng)階躍響應曲線

根據(jù)以上兩圖可以看出，校正后具有很好的穩(wěn)定性，但在實際調(diào)試過程中發(fā)現(xiàn)存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，通過對倒立擺的實物調(diào)試，尋找最優(yōu)的K值。在調(diào)試時，發(fā)現(xiàn)K值越大出現(xiàn)倒立擺劇烈抖動，不穩(wěn)定，出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象，所以根據(jù)倒立擺的實際情況最終選擇K=48.7915。因與理論計算的結(jié)果相差不大，故而，不再重新設(shè)計。

在Simulink中進行仿真，設(shè)置好設(shè)計所得的參數(shù)。如圖3.6所示為Simulink模型搭建圖。

圖3.6 根軌跡模型搭建

運行以后得到如圖3.7所示的仿真結(jié)果。

圖3.7  擺桿角度響應曲線

根軌跡法控制器設(shè)計實物調(diào)節(jié)及參數(shù)設(shè)置見附錄1。

PID控制器因其結(jié)構(gòu)簡單，容易調(diào)節(jié)，且不需要對系統(tǒng)建立精確的模型，在實際控制中應用較廣。

PID調(diào)節(jié)器各校正環(huán)節(jié)的作用是：

比例環(huán)節(jié)：即時成比例的反映控制系統(tǒng)偏差信號；偏差一旦產(chǎn)生，調(diào)節(jié)器立即產(chǎn)生控制作用以減小偏差，產(chǎn)生過調(diào)；

積分環(huán)節(jié)：主要用于消除靜差，提高系統(tǒng)的無差度，當積分環(huán)節(jié)過大時會產(chǎn)生振蕩；

微分環(huán)節(jié)：能反映偏差信號的變化趨勢，并能在偏差信號的值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減少調(diào)節(jié)時間。

此次實驗只考慮控制擺桿的角度，小車的位置是不受控的，即擺桿角度的單閉環(huán)控制，立起擺桿后，會發(fā)現(xiàn)小車向一個方向運動直到碰到限位信號。那么要使倒立擺穩(wěn)定在固定位置，還需要增加對電機位置的閉環(huán)控制，這就形成了擺桿角度和電機位置的雙閉環(huán)控制。立擺后表現(xiàn)為電機在固定位置左右移動控制擺桿不倒。

如圖3.8所示，為PID控制仿真模型。

圖3.8  PID仿真模型

如圖3.9所示，可以通過雙擊PID控制模型進行參數(shù)設(shè)置。

圖3.9 PID參數(shù)設(shè)置

先設(shè)置相關(guān)參數(shù)為，得到如圖3.10所示的擺桿角度響應曲線。

圖3.10  擺桿角度響應曲線

通過調(diào)節(jié)參數(shù)，設(shè)置，得到圖3.11所示曲線。

圖3.11 調(diào)整參數(shù)后曲線

從圖中可以看出閉環(huán)控制系統(tǒng)持續(xù)振蕩，應增加微分控制參數(shù)，經(jīng)過三個參數(shù)的慢慢調(diào)節(jié)，最終設(shè)定參數(shù)為，得到如圖3.12所示曲線。

圖3.12 增加微分，積分參數(shù)后曲線圖

可以看出，其在1秒內(nèi)達到平衡，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差比較小，但存在超調(diào)現(xiàn)象。

圖3.13 小車位置響應曲線

從圖3.13可得，由于PID控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置，所以小車會往一個方向運動，PID控制分析中的最后一段，若是想控制電機的位置，使得倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在固定位置附近，那么還需要設(shè)計位置PID閉環(huán)。

圖3.14  最優(yōu)參數(shù)圖

當設(shè)置參數(shù)為時得到如圖3.14所示曲線，并取值為本次設(shè)計PID控制的最優(yōu)參數(shù)。

PID控制法控制器設(shè)計實物調(diào)節(jié)見附錄2。

在本次設(shè)計中，發(fā)現(xiàn)直線一級倒立擺本身是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，但通過數(shù)學建模分析可以建立起小車加速度與擺桿角度間的傳遞函數(shù)，然后應用控制理論的方法，借助MATLAB及Simulink軟件，可以分析出系統(tǒng)的特性一級調(diào)節(jié)方向。設(shè)置的參數(shù)調(diào)整時間為0.9s，最大超調(diào)量為25.4%，經(jīng)過計算得出阻尼比和固有頻率，阻尼比與最大超調(diào)量有關(guān)，當最大超調(diào)量比較大時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差較大，在MATLAB中利用計算所得的參數(shù)繪制根軌跡圖和系統(tǒng)階躍響應曲線，分析曲線、系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)，則應該調(diào)節(jié)阻尼比，進行重新設(shè)計計算，直到得到最優(yōu)參數(shù)為止。

直線一級倒立擺的校正有三種方式，分別是根軌跡法、頻率法、以及PID調(diào)節(jié)法。通過實際對比發(fā)現(xiàn)PID調(diào)節(jié)法設(shè)計的控制器比較穩(wěn)定，擺桿振蕩小，校正效果好。根軌跡法設(shè)計的控制器與選擇的參數(shù)最大超調(diào)量和調(diào)整時間有關(guān)，即最大超調(diào)量越大，系統(tǒng)越不穩(wěn)定，擺桿振蕩大，達到平衡所需的時間多，且擺桿不容易調(diào)整到平衡狀態(tài)。

本次的課程設(shè)計很好的鍛煉了我的動手能力和選擇最優(yōu)參數(shù)方法，了解了自動控制原理這門課程，知道了直線一級倒立擺在科研教學中的重要作用。本次課設(shè)最大的難度在于數(shù)學模型的建立以及最優(yōu)參數(shù)的選擇。我們必須掌握基本概念，才能將選擇到最優(yōu)參數(shù)，設(shè)計好控制器。通過不斷地更改參數(shù)，繪制根軌跡圖、系統(tǒng)階躍響應圖來分析系統(tǒng)是否達到平衡，若不平衡則需要重新調(diào)整參數(shù)。

圖附錄1.1  根軌跡法參數(shù)設(shè)置

圖附錄1.2  根軌跡法實物調(diào)試

圖附錄2.1  PID控制法參數(shù)設(shè)置

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2018-12-19 15:00 上傳

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