一直對(duì)齊次坐標(biāo)這個(gè)概念的理解不夠徹底，只見(jiàn)大部分的書(shū)中說(shuō)道“齊次坐標(biāo)在仿射變換中非常的方便”，然后就沒(méi)有了后文，今天在一個(gè)叫做“三百年 重生”的博客上看到一篇關(guān)于透視投影變換的探討的文章，其中有對(duì)齊次坐標(biāo)有非常精辟的說(shuō)明，特別是針對(duì)這樣一句話進(jìn)行了有力的證明：“齊次坐標(biāo)表示是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要手段之一，它既能夠用來(lái)明確區(qū)分向量和點(diǎn)，同時(shí)也更易用于進(jìn)行仿射（線性）幾何變換。”—— F.S. Hill, JR。

     由于作者對(duì)齊次坐標(biāo)真的解釋的不錯(cuò)，我就原封不動(dòng)的摘抄過(guò)來(lái)：

     對(duì)于一個(gè)向量v以及基oabc，可以找到一組坐標(biāo)(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3c          （1）

而對(duì)于一個(gè)點(diǎn)p，則可以找到一組坐標(biāo)（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c           （2），

從上面對(duì)向量和點(diǎn)的表達(dá)，我們可以看出為了在坐標(biāo)系中表示一個(gè)點(diǎn)（如p），我們把點(diǎn)的位置看作是對(duì)這個(gè)基的原點(diǎn)o所進(jìn)行的一個(gè)位移，即一個(gè)向量——p – o（有的書(shū)中把這樣的向量叫做位置向量——起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的特殊向量），我們?cè)诒磉_(dá)這個(gè)向量的同時(shí)用等價(jià)的方式表達(dá)出了點(diǎn)p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)

(1)(3)是坐標(biāo)系下表達(dá)一個(gè)向量和點(diǎn)的不同表達(dá)方式。這里可以看出，雖然都是用代數(shù)分量的形式表達(dá)向量和點(diǎn)，但表達(dá)一個(gè)點(diǎn)比一個(gè)向量需要額外的信息。如果我寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)分量表達(dá)(1, 4, 7)，誰(shuí)知道它是個(gè)向量還是個(gè)點(diǎn)！

    我們現(xiàn)在把（1）（3）寫(xiě)成矩陣的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)

p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),這里(a,b,c,o)是坐標(biāo)基矩陣，右邊的列向量分別是向量v和點(diǎn)p在基下的坐標(biāo)。這樣，向量和點(diǎn)在同一個(gè)基下就有了不同的表達(dá)：3D向量的第4個(gè)代數(shù)分量是0，而3D點(diǎn)的第4個(gè)代數(shù)分量是1。像這種這種用4個(gè)代數(shù)分量表示3D幾何概念的方式是一種齊次坐標(biāo)表示。

這樣，上面的(1, 4, 7)如果寫(xiě)成（1,4,7,0），它就是個(gè)向量；如果是(1,4,7,1)，它就是個(gè)點(diǎn)。下面是如何在普通坐標(biāo)(OrdinaryCoordinate)和齊次坐標(biāo)(HomogeneousCoordinate)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換：

(1)從普通坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成齊次坐標(biāo)時(shí)

   如果(x,y,z)是個(gè)點(diǎn)，則變?yōu)?x,y,z,1);

   如果(x,y,z)是個(gè)向量，則變?yōu)?x,y,z,0)

(2)從齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成普通坐標(biāo)時(shí)   

   如果是(x,y,z,1)，則知道它是個(gè)點(diǎn)，變成(x,y,z);

   如果是(x,y,z,0)，則知道它是個(gè)向量，仍然變成(x,y,z)

以上是通過(guò)齊次坐標(biāo)來(lái)區(qū)分向量和點(diǎn)的方式。從中可以思考得知，對(duì)于平移T、旋轉(zhuǎn)R、縮放S這3個(gè)最常見(jiàn)的仿射變換，平移變換只對(duì)于點(diǎn)才有意義，因?yàn)槠胀ㄏ蛄繘](méi)有位置概念，只有大小和方向.

而旋轉(zhuǎn)和縮放對(duì)于向量和點(diǎn)都有意義，你可以用類(lèi)似上面齊次表示來(lái)檢測(cè)。從中可以看出，齊次坐標(biāo)用于仿射變換非常方便。

此外，對(duì)于一個(gè)普通坐標(biāo)的點(diǎn)P=(Px, Py, Pz)，有對(duì)應(yīng)的一族齊次坐標(biāo)(wPx, wPy, wPz, w)，其中w不等于零。比如，P(1, 4, 7)的齊次坐標(biāo)有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7,-0.1）等等。因此，如果把一個(gè)點(diǎn)從普通坐標(biāo)變成齊次坐標(biāo)，給x,y,z乘上同一個(gè)非零數(shù)w，然后增加第4個(gè)分量w；如果把一個(gè)齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成普通坐標(biāo)，把前三個(gè)坐標(biāo)同時(shí)除以第4個(gè)坐標(biāo)，然后去掉第4個(gè)分量。

由于齊次坐標(biāo)使用了4個(gè)分量來(lái)表達(dá)3D概念，使得平移變換可以使用矩陣進(jìn)行，從而如F.S. Hill, JR所說(shuō)，仿射（線性）變換的進(jìn)行更加方便。由于圖形硬件已經(jīng)普遍地支持齊次坐標(biāo)與矩陣乘法，因此更加促進(jìn)了齊次坐標(biāo)使用，使得它似乎成為圖形學(xué)中的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

   以上很好的闡釋了齊次坐標(biāo)的作用及運(yùn)用齊次坐標(biāo)的好處。其實(shí)在圖形學(xué)的理論中，很多已經(jīng)被封裝的好的API也是很有研究的，要想成為一名專(zhuān)業(yè)的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的學(xué)習(xí)者，除了知其然必須還得知其所以然。這樣在遇到問(wèn)題的時(shí)候才能迅速定位問(wèn)題的根源，從而解決問(wèn)題。