摘要：

能帶理論(Energy band theory)是研究晶體(包括金屬、絕緣體和半導體的晶體)中電子的狀態及其運動的一種重要的近似理論。本文綜述了能帶理論中的布洛赫定理、一維周期場中電子運動的近自由相似、緊束縛相似及能帶圖示等相關原理，簡要闡釋了能帶理論在解釋導體、半導體和絕緣體性質和導電性方面的應用。

關鍵詞：能帶理論、近自由相似、緊束縛相似、導體、半導體、絕緣體

引言：

能帶理論是固體物理中的重要的理論，他是研究固體中電子運動的主要理論基礎，他在量子力學的運動規律確立以后，用量子學力學研究金屬電導理論的過程中發展起來的，能帶理論認為晶體中的電子是在整個晶體內運動的；每個電子可以看成是獨立地在1個等效勢場中運動，按固體能帶理論，物質的核外電子有不同的能量。根據核外電子能級的不同，把它們的能級劃分為三種能帶：導帶、禁帶和價帶（滿帶）。

理論方法：

• 布洛赫定理
  

對于周期性勢場，即

其中 取布拉維格子的所有格矢，

單電子薛定諤方程

的本征函數是按布拉維格子周期性調幅的平面波，即

且

從以上2式可以看出，布洛赫定理亦可表述為對上述薛定諤方程的每一本征解，存在一波矢 ，使得

對屬于布拉維格子的所有格矢 成立。

物理意義：平面波波矢k（又稱“布洛赫波矢”，它與約化普朗克常數的乘積即為粒子的晶體動量）表征不同原胞間電子波函數的位相變化，其大小只在一個倒易點陣矢量之內才與波函數滿足一一對應關系，所以通常只考慮第一布里淵區內的波矢。對一個給定的波矢和勢場分布，電子運動的薛定諤方程具有一系列解，稱為電子的能帶，常用波函數的下標n以區別。這些能帶的能量在k的各個單值區分界處存在有限大小的空隙，稱為能隙。在第一布里淵區中所有能量本征態的集合構成了電子的能帶結構。在單電子近似的框架內，周期性勢場中電子運動的宏觀性質都可以根據能帶結構及相應的波函數計算出。

•    一維周期場中電子運動的近自由相似
  

這是能帶理論中一個簡單模型。該模型的基本出發點是晶體中的價電子行為很接近于自由電子，周期勢場的作用可以看作是很弱的周期性起伏的微擾處理。僅管模型簡單，但給出了周期場中運動的電子本征態的一些最基本特點。

(1)零級近似時，用勢場平均值代替弱周期場V(x)；

(2)所謂弱周期場是指比較小的周期起伏做為微擾處理。

零級近似下，電子只受到作用，波動方程及電子波函數，電子能量分別為：

……………………………………（6-2-1）

由于晶體不是無限長而是有限長L，因此波數k不能任意取值。當引入周期性邊界條件，則k只能取下列值：，這里l為整數，

可見，零級近似的解為自由電子解的形式，故稱為近自由電子近似理論。

如下圖所示，在諸能帶斷開的間隔內不存在允許的電子能級，稱為禁帶，禁帶的位置及寬度取決于晶體的結構和勢場的函數形式。

另一方面，對于波矢而言，N很大，故k很密集，可以認為是k的準連續函數，這些準連續的能級被禁帶隔開而形成一系列能帶1，2，3…。不難算出，每個能帶所對應的k的取值范圍都是2π/a，即一個倒格子原胞長度，而所包含的量子態數目是N，等于晶體中原胞的數目。

總體稱為能帶結構（n為能帶編號），相鄰兩個能帶與之間可以相接，重疊或是分開，對于一維周期性勢場來說屬于分開情況，則出現帶隙——禁帶。

3.緊束縛相似

緊束縛近似是將在一個原子附近的電子看作受該原子勢場的作用為主，其他原子勢場的作用看作微擾，從而可以得到電子的原子能級和晶體中能帶之間的相互關系。

在此近似中，能帶的電子波函數可以寫成布洛赫波函數之和的形式：

其中被稱為瓦尼爾函數。

能帶的圖示法：

（1）簡約布里淵區圖示

在這種表示中，k為簡約波矢，即k限制在第一布里淵區內。E(k)是k的多值函數，為區分，將其按能量由低到高標記為，…，下圖為一維情況。這種圖示的特點是在簡約布里淵區表示出所有能帶，可以看到能帶結構的全貌，E(k)是k的多值函數，通常都采用這種圖

（2）重復區圖示

第一布里淵區的每個能帶在整個k空間周期性重復，如圖所示。其特點：每個布里淵區都表示出所有的能帶，E(k)是k的周期函數

（3）擴展區圖示

按能量由低到高的順序，分別將能帶k限制在第一布里淵區、第二布里淵區，…等等。一個布里淵區表示一個能帶，如圖所示。其特點是：E(k)是k的單值函數，一個布里淵區表示一個能帶。

利用能帶理論區分導體、半導及絕緣體：

固體的導電性能由其能帶結構決定，按固體能帶理論,物質的核外電子有不同的能量.根據核外電子能級的不同,把它們的能級劃分為三種能帶：導帶、禁帶和價帶（滿帶）。在禁帶里,是不允許有電子存在的，禁帶把導帶和價帶分開。

對于導體,它的大量電子處于導帶,能自由移動。在電場作用下,成為載流子.因此,導體載流子的濃度很大。

對半導體,它的電子大多數都處于價帶,不能自由移動。但它的禁帶寬度很小，在熱、光等外界因素的作用下,可以使少量價帶中的電子越過禁帶,躍遷到導帶上去成為載流子。

絕緣體和半導體的區別主要是禁的寬度不同。半導體的禁帶很窄,（一般低于3eV）,絕緣體的禁帶寬一些,電子的躍遷困難得多。因此,絕緣體的載流子的濃度很小。導電性能很弱.實際絕緣體里,導帶里的電子不是沒有,并且總有一些電子會從價帶躍遷到導帶,但數量極少。所以,在一般情況下,可以忽略在外場作用下它們移動所形成的電流。

若晶體的原胞含有奇數個價電子，這種晶體必是導體；原胞含有偶數個價電子的晶體，如果能帶交疊，則晶體是導體或半金屬，如果能帶沒有交疊，禁帶窄的晶體就是半導體，禁帶寬的則是絕緣體。

導體、絕緣體和半導體的大致應用：

導體：水、溶液、金屬、膠體、濁液、熔融液、人體等，一般金屬都是導體，可以做成導線。

半導體：半導體的應用十分廣泛，主要是制成有特殊功能的元器件，如晶體管、集成電路、整流器、激光器、發光管以及各種光電探測器件、微波器件等。

絕緣體：絕緣體通常用做電纜的外表覆層。陶瓷、橡膠、干布、干木頭、塑料制品、空氣、純凈的水、玻璃、經過加工的絕緣油、電木、云母等都是絕緣體。局限性：

能帶理論在闡明電子在晶格中的運動規律、固體的導電機構、合金的某些性質和金屬的結合能等方面取得了重大成就，但它畢竟是一種近似理論，存在一定的局限性。例如某些晶體的導電性不能用能帶理論解釋，即電子共有化模型和單電子近似不適用于這些晶體。多電子理論建立后，單電子能帶論的結果常作為多電子理論的起點，在解決現代復雜問題時，兩種理論是相輔相成的。

結論：

能帶理論是現代固體理論基礎的理論基礎，它可以使問題簡化，對于導體、半導體、絕緣體的區分有著重要應用，利用近自由相似、緊束縛相似法可以區分出導體等的能帶，而導體、半導體、絕緣體在生活、科研等各方面都有著廣泛的應用。總之，能帶理論對微電子技術的發展起著不可估量的作用。

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