1卷積演示程序設(shè)計(jì)原理

數(shù)字信號(hào)處理的直接對(duì)象是數(shù)字信號(hào)，處理的方式是數(shù)值運(yùn)算的方式，它涉及到的內(nèi)容非常豐富和廣泛，它是應(yīng)用最快、成效最顯著的新學(xué)科之一，作為信息專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，需要掌握其基本理論和基本的分析方法，通過理論實(shí)踐、原理和應(yīng)用結(jié)合掌握知識(shí)。而MATLAB是集數(shù)學(xué)計(jì)算、圖形處理和程序語言設(shè)計(jì)于一體的軟件，通過MATLAB來實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號(hào)處理的有關(guān)表達(dá)，最終實(shí)現(xiàn)課程設(shè)計(jì)的目的。

• 卷積演示程序設(shè)計(jì)要求
  

（1）序列的長(zhǎng)度和內(nèi)容由運(yùn)行時(shí)輸入；

（2）分別動(dòng)態(tài)演示它們進(jìn)行線性卷積和循環(huán)卷積的過程，要求體現(xiàn)翻轉(zhuǎn)、移位、相乘、求和等過程；

（3）根據(jù)卷積結(jié)果，分析兩類卷積的關(guān)系。

• 卷積演示程序設(shè)計(jì)目的
  

(1)、通過基于MATLAB的算法仿真實(shí)驗(yàn)及分析，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)和深化課堂上學(xué)到的有關(guān)數(shù)字信號(hào)處理的基本概念、基本原理以及基本的信號(hào)處理操作及設(shè)計(jì)方法。

(2)、掌握線性卷積與圓周卷積軟件實(shí)現(xiàn)的方法，并驗(yàn)證二者之間的關(guān)系。

1.2 卷積演示程序設(shè)計(jì)內(nèi)容

（1）可輸入任意2待卷積序列x1(n)、x2(n)，長(zhǎng)度不做限定。測(cè)試數(shù)據(jù)為：

x1(n)={1,1,1,1,0, 0,1,1,1,1,0,0}，x2(n)={0,1,2,1,0,0,0,1,2,1,0,0}；

（2）分別動(dòng)態(tài)演示2序列進(jìn)行線性卷積x1(n)﹡x2(n)和圓周卷積x1(n) x2 (n)的過程；要求分別動(dòng)態(tài)演示翻轉(zhuǎn)、移位、乘積、求和的過程。

（3）圓周卷積默認(rèn)使用2序列中的最大長(zhǎng)度，但卷積前可以指定卷積長(zhǎng)度N用以進(jìn)行混疊分析。

（4）根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析2類卷積的關(guān)系。

2卷積演示程序總體設(shè)計(jì)及關(guān)鍵技術(shù)分析

2.1 卷積演示程序設(shè)計(jì)基本原理

2.1.1 線性卷積

線性時(shí)不變系統(tǒng)（Linear Time-Invariant System, or L. T. I系統(tǒng)）的輸入、輸出間的關(guān)系為：當(dāng)系統(tǒng)輸入序列為x(n)，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，輸出序列為y(n)，則系統(tǒng)輸出為：

或   

上式稱為離散卷積或線性卷積。

2.1.2 圓周卷積

設(shè)兩個(gè)有限長(zhǎng)序列x1(n)和x2(n)，均為N點(diǎn)長(zhǎng)

x1(n)  X1(K)

x2(n)   X2(K)

如果X3(K)=X1(K)﹒X2(K)

則

N

上式稱為循環(huán)卷積或圓周卷積

注：為x1(n)序列的周期化序列；為的主值序列。

編程計(jì)算時(shí)，x3(n)可表示如下：

2.2 兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性卷積

序列x1(n)為L(zhǎng)點(diǎn)長(zhǎng)，序列x2(n)為P點(diǎn)長(zhǎng)，x3(n)為這兩個(gè)序列的線性卷積，則x3(n)為

且線性卷積x3(n)的最大長(zhǎng)L+P-1，也就是說當(dāng)和時(shí)x3(n)=0。

2.3 兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的圓周卷積

線性卷積是求離散系統(tǒng)響應(yīng)的主要方法之一，許多重要應(yīng)用都建立在這理論基礎(chǔ)上，如卷積濾波等，專用函數(shù)conv（x,h）可完成線性卷積過程。

圓周卷積的計(jì)算速度遠(yuǎn)快于線性卷積，如果選擇圓周卷積的長(zhǎng)度,則可以用圓周卷積取代線性卷積。方法如下：

• 定義圓周卷積的長(zhǎng)度：選擇N=L+P-1。
• 將兩個(gè)序列的長(zhǎng)度都補(bǔ)足為N:
  

將長(zhǎng)為L(zhǎng)的序列x1(n)延長(zhǎng)到N，補(bǔ)N-L個(gè)零；

將長(zhǎng)為P的序列x2(n)延長(zhǎng)到N，補(bǔ)N-P個(gè)零；

• 翻轉(zhuǎn)x1(n)，周期延拓為序列，取主周期。
• 循環(huán)移位：與線性卷積不同，圓周卷積運(yùn)算中采用的是循環(huán)移位，有限長(zhǎng)序列x1(n)的循環(huán)移位定義為：
  

其含義如下：表示x(n)的周期延拓序列的移位：

            表示對(duì)移位的周期序列取主值序列。所以f(n)仍然是一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列。

2.4 卷積演示程序設(shè)計(jì)思想

首先建立一個(gè)基本的框架，制作一個(gè)菜單，其中包括主程序菜單和子程序的菜單，子程序菜單可以選擇回到主程序菜單選擇功能。菜單的框架完成后，實(shí)現(xiàn)可以任意輸入兩個(gè)序列，然后分別制作動(dòng)態(tài)演示序列的線性卷積的程序、動(dòng)態(tài)演示序列的圓周卷積、以及驗(yàn)證時(shí)域卷機(jī)定理以及比較運(yùn)行速率的程序。結(jié)合上面建立的框架完成菜單選擇以及功能的調(diào)用，讓整個(gè)設(shè)計(jì)完美。

2.4.1卷積演示程序設(shè)計(jì)流程圖

卷積演示程序設(shè)計(jì)流程圖如圖1所示：

圖1  流程圖

2.4.2卷積演示程序關(guān)鍵技術(shù)分析

本個(gè)設(shè)計(jì)主要要實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)的演示，為實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)演示，有很多不同的方法，而我采用的是for循環(huán)加上pause，在for循環(huán)中的一次執(zhí)行中，實(shí)現(xiàn)一次繪圖，表示某一時(shí)刻的狀態(tài)，用pause暫停等待for循環(huán)中下一次執(zhí)行，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)演示。這是主要的一個(gè)設(shè)計(jì)，另外一個(gè)重要的技巧是如何將循環(huán)卷積表示出來，因?yàn)檠�環(huán)卷積的結(jié)果是周期的，其循環(huán)卷積的方法和線性卷積不同，并且循環(huán)卷積中要處理幾種情況：如當(dāng)x1序列和x2序列之間的最大長(zhǎng)度比卷積N長(zhǎng)度大時(shí)是一種畫圖方法，比它小時(shí)是另外一種方法，然而困難的是當(dāng)循環(huán)卷積長(zhǎng)度比序列最大長(zhǎng)度小時(shí)還要分析x1和x2序列各自長(zhǎng)度與N的關(guān)系而做不同的情況分析，具體的解決方法見程序?qū)崿F(xiàn)。

3卷積演示程序

3.1程序?qū)崿F(xiàn)

3.1.1線性卷積程序?qū)崿F(xiàn)

x1=[1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0];

x2=[0,1,2,1,0,0,0,1,2,1,0,0];

p=length(x1);

q=length(x2);

n=p+q-1;

a= 0 : q-1;

y2(a+1)=x2(q-a);

for n=1 : p+q-1

k=-q+n:1:-1+n;

subplot(3,1,2)

stem(k,y2)

title('x2(n-m)');

axis([-16,16,0,24]);

以上部分是實(shí)現(xiàn)翻轉(zhuǎn)并移位，在設(shè)計(jì)中是將序列x2進(jìn)行翻轉(zhuǎn)和移位。

y=conv(x1,x2);

t=1:1:n

h(t)=y(t);

subplot(3,1,3)

t=0:n-1;

stem(t,h);

title('線性卷積y(n)')

axis([-16,16,0,24]);

pause(1)

end

以上整個(gè)部分就是實(shí)現(xiàn)線性卷積的過程。

subplot(3,2,1)

stem(x1);

title('x1(m)')

axis([0,15,0,1]);

pause(1)

subplot(3,2,2)

stem(x2);

title('x2(m)')

axis([0,15,0,2]);

pause(1)

end

3.1.2圓周卷積程序?qū)崿F(xiàn)

對(duì)于循環(huán)卷積，要求我們進(jìn)行判斷并根據(jù)情況做不同的分析：

x1=[1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0];

x2=[0,1,2,1,0,0,0,1,2,1,0,0];

p=length(x1);q=length(x2);k=max(p,q);%p<q

if k>N

    if p<q&p<N

x11=[x1,zeros(1,N-p)];

n=0:1:N-1;

x22(n+1)=x2(n+1);

elseif p==q|p>N

    n=0:1:N-1;

x11(n+1)=x1(n+1);

x22(n+1)=x2(n+1);

else disp('錯(cuò)誤，x1的長(zhǎng)度要比x2短')

end

3.2結(jié)果及分析

開始運(yùn)行程序，會(huì)進(jìn)入主菜單，按照提示進(jìn)行選擇：

請(qǐng)輸入x1:[1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0]

請(qǐng)輸入x2:[0,1,2,1,0,0,0,1,2,1,0,0]

（1）、動(dòng)態(tài)演示2序列的線性卷積

圖2   線性卷積結(jié)果

（2）、動(dòng)態(tài)演示2序列的10點(diǎn)的圓周卷積

圖3  圓周卷積結(jié)果

4結(jié)論

針對(duì)卷積演示的程序進(jìn)行設(shè)計(jì)，并給出了兩個(gè)示例序進(jìn)行線性卷積和圓周卷積的翻轉(zhuǎn)、移位、乘機(jī)、求和的過程等。圓周卷積是將所有數(shù)據(jù)限定一個(gè)固定的長(zhǎng)度。設(shè)線性卷積和圓周卷積有用信號(hào)部分長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)、P，則當(dāng)圓周卷積長(zhǎng)度大于等于L+P-1時(shí)兩者等價(jià)。

線性卷積和圓周卷積對(duì)運(yùn)算有不同的要求：線性卷積的對(duì)象可以是有限長(zhǎng)或無限長(zhǎng)非周期序列，若兩個(gè)序列的長(zhǎng)度分別為M和N，則卷積后的序列長(zhǎng)度為L(zhǎng)=M+N-1。圓周卷積的對(duì)象是兩個(gè)同長(zhǎng)度（若長(zhǎng)度不同可用補(bǔ)零的方法達(dá)到同長(zhǎng)度）的有限長(zhǎng)序列，圓周卷積的結(jié)果也是同一長(zhǎng)度的有限長(zhǎng)序列。

它們的關(guān)系是：圓周卷積是線性卷積L點(diǎn)周期延拓的主值區(qū)間。

5心得體會(huì)

通過本次論文設(shè)計(jì)鞏固了所學(xué)過的數(shù)字信號(hào)處理課程的有關(guān)知識(shí)，同時(shí)也對(duì)matlab這個(gè)軟件有了更深的了解，它與數(shù)字信號(hào)處理這門課程之間有著緊密關(guān)系，matlab中是采用數(shù)組和距陣的方式處理數(shù)據(jù)，如何將數(shù)字信號(hào)處理有關(guān)的資料以數(shù)組和距陣進(jìn)行編程是我們學(xué)習(xí)的一個(gè)方面，通過這次的課程設(shè)計(jì)，讓我發(fā)現(xiàn)了數(shù)字信號(hào)處理在matlab中的應(yīng)用，同時(shí)也激發(fā)了我利用這軟件來實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號(hào)處理有關(guān)問題的興趣。

本次設(shè)計(jì)中，有機(jī)地結(jié)合了理論與實(shí)踐，既考察了我們對(duì)理論知識(shí)的掌握情況，還反映出我們實(shí)際動(dòng)手能力和編程能力，更主要的是它激起我們創(chuàng)新思維，提高了自己獨(dú)立分析問題和解決問題的能力，這在無形中以及提高了我各方面的能力。無論是在知識(shí)上，還是在思想上都給我烙下了深刻的印象。

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